Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 18 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 100 mm до 75 mm. Давление в узком сечении равно 150 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 18 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 150 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 180 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 25 mm, расположенное на 4,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 180 kPa (избыточное)h = 4,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 0,8 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 0,8 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,018) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 78% подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 58 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sH = 58 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 3 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 3

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,8 mz = 2n = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 375 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1,2 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 294,3 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·6 = 294,3 kN

Ответ

F = 294,3 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,667 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 4,5/(4,5·6) = 4,667 m

Ответ

y_cp = 4,667 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 155,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,018/0,007854 = 2,292 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,018/0,004418 = 4,074 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 150 + ½·1000·(4,074² − 2,292²)/1000 = 150 + 5,674 = 155,7 kPa

Ответ

p₁ = 155,7 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 21,17 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(180000/1000 + 9,81·4,5)) = 21,17 m/s

Ответ

v = 21,17 m/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 3,84 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,15)·0,8²/(2·9,81) = 0,3914 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,3914 = 3840 Pa = 3,84 kPa

Ответ

Δp = 3,84 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 1,798 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 21,6 + 11,4)·0,05288 = 1,798 m

Ответ

H = 1,798 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 14,59 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·58 = 11,38 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 11,38/0,78 = 14,59 kW

Ответ

P_shaft = 14,59 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 14,92 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 3)·0,3305 = 9,915 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 5 + 9,915 = 14,92 m

Ответ

H = 14,92 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 31,2 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·1,8)·1,8 = 10,98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 10,55 m

R = A/P = 1,041 m

Скорость

V = (1/0,014)·1,041^2/3·0,0015^1/2 = 2,841 m/s

Расход

Q = A·V = 10,98·2,841 = 31,2 m³/s

Ответ

Q = 31,2 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,005714 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714

Ответ

S = 0,005714

Это понижение на 5,714 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering