Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 100 mm и диаметром горловины 50 mm. Давление на входе на 54 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 54 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 20 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 2,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 5 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q.

d = 20 mmz_C = +2,5 mz₂ = −5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2 m/s по горизонтальной трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 72% подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 70 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 25 L/sH = 70 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 27 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sΔz = 27 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,9 mz = 3n = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 1,5 m должен пропускать 0,82 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 0,82 m³/sb = 1,5 my = 0,6 mn = 0,015

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,373 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,25·7,5 = 394 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,25 + 3,906/(4,25·7,5) = 4,373 m

Ответ

y_cp = 4,373 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 21,07 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(50/100)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·54000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,73 m/s

v₁ = 2,683 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,001963·10,73 = 0,02107 m³/s = 21,07 L/s

Ответ

Q = 21,07 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 3,112 L/s

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0003142·9,905 = 0,003112 m³/s = 3,112 L/s

Ответ

Q = 3,112 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 140,8 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,25)·2²/(2·9,81) = 14,35 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·14,35 = 140800 Pa = 140,8 kPa

Ответ

Δp = 140,8 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 7,78 m

Скорость

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Полная потеря напора

h_f = 14,67·0,408 = 5,984 m

h_m = 4,4·0,408 = 1,795 m

Δz = h_f + h_m = 7,78 m

Ответ

Δz = 7,78 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 23,84 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·70 = 17,17 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 17,17/0,72 = 23,84 kW

Ответ

P_shaft = 23,84 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 31 kW

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0,408 = 20,4 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 27 + 20,4 = 47,4 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·47,4/0,75 = 31 kW

Ответ

P_shaft = 31 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 45,18 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,9)·1,9 = 15,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 14,52 m

R = A/P = 1,073 m

Скорость

V = (1/0,014)·1,073^2/3·0,0015^1/2 = 2,9 m/s

Расход

Q = A·V = 15,58·2,9 = 45,18 m³/s

Ответ

Q = 45,18 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0008081 m/m

Геометрия

A = b·y = 1,5·0,6 = 0,9 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·0,6 = 2,7 m

R = A/P = 0,3333 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·0,82/(0,9·0,4807) = 0,02843

S = 0,02843² = 0,0008081

Ответ

S = 0,0008081

Это понижение на 0,8081 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering