Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm. В широкой части давление 240 kPa, а скорость 1,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 150 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 40 mm, расположенное на 2 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (избыточное)h = 2 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 4 L/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 4 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 44 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 30 L/sH = 44 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 25 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 1,5 m и заложение откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1,5 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,012S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (чистый грунт) с шириной по дну 1,5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 14 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 14 m³/sb = 1,5 my = 1,3 mz = 2n = 0,022

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 60,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN

Ответ

F = 60,7 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 43,99 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·2,5 = 43,99 kN

Ответ

F = 43,99 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 223,1 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(150/75)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−16,88) = 223,1 kPa

Ответ

p₂ = 223,1 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 23,15 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·2)) = 18,42 m/s

Расход

Q = A·v = 0,001257·18,42 = 0,02315 m³/s = 23,15 L/s

Ответ

Q = 23,15 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 93,07 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 93,07 m

Ответ

h_f = 93,07 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 0,8282 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Полная потеря напора

h_f = 7,333·0,05738 = 0,4208 m

h_m = 7,1·0,05738 = 0,4074 m

Δz = h_f + h_m = 0,8282 m

Ответ

Δz = 0,8282 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 16,19 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·44 = 12,95 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 12,95/0,8 = 16,19 kW

Ответ

P_shaft = 16,19 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 35,84 kW

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0,3305 = 9,254 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 25 + 9,254 = 34,25 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·34,25/0,75 = 35,84 kW

Ответ

P_shaft = 35,84 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 15,83 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·1,5)·1,5 = 5,625 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 6,908 m

R = A/P = 0,8142 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,8142^2/3·0,0015^1/2 = 2,814 m/s

Расход

Q = A·V = 5,625·2,814 = 15,83 m³/s

Ответ

Q = 15,83 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,005092 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,3)·1,3 = 5,33 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,3·√(1 + 2²) = 7,314 m

R = A/P = 0,7288 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·14/(5,33·0,8098) = 0,07136

S = 0,07136² = 0,005092

Ответ

S = 0,005092

Это понижение на 5,092 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering