Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm. В широкой части давление 110 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm и поднимается на 5 m. В сечении 1 давление 250 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 3 m/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 3 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 27 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 27 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 78 m. КПД насоса 72%, а КПД приводящего его электродвигателя 90%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 60 L/sH = 78 mη_pump = 72%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 12 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 400 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 12 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину 4,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4,5 my = 1,4 mn = 0,03S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (гравий) с шириной по дну 2,5 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 1,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 1,7 m³/sb = 2,5 my = 0,6 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 99,33 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·4,5 = 99,33 kN

Ответ

F = 99,33 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,722 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,5·4 = 51,8 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 1,333/(1,5·4) = 1,722 m

Ответ

y_cp = 1,722 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 109,7 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/75)² = 0,8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 0,8889²)/1000 = −0,2701 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−0,2701) = 109,7 kPa

Ответ

p₂ = 109,7 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 200,7 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/75)² = 0,8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 0,8889²)/1000 = −0,2701 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−0,2701) − 49,05 = 200,7 kPa

Ответ

p₂ = 200,7 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 12,84 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,05)·3²/(2·9,81) = 12,84 m

Ответ

h_f = 12,84 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 255,2 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

27 = (7,2 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/19,6) = 5,199 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,199·0,04909 = 0,2552 m³/s = 255,2 L/s

Ответ

Q = 255,2 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 70,85 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·78 = 45,91 kW

Мощность на валу

P_shaft = 45,91/0,72 = 63,77 kW

Электрическая мощность

P_el = 63,77/0,9 = 70,85 kW

Ответ

P_el = 70,85 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 51,06 m

Скорость

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,119 = 4,283 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 40,77 + 4,283 = 51,06 m

Ответ

H = 51,06 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 5,384 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 4,5·1,4 = 6,3 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,4 = 7,3 m

R = A/P = 0,863 m

Скорость

V = (1/0,03)·0,863^2/3·0,0008^1/2 = 0,8546 m/s

Расход

Q = A·V = 6,3·0,8546 = 5,384 m³/s

Ответ

Q = 5,384 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001545 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·0,6)·0,6 = 1,86 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 4,197 m

R = A/P = 0,4432 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·1,7/(1,86·0,5813) = 0,03931

S = 0,03931² = 0,001545

Ответ

S = 0,001545

Это понижение на 1,545 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering