Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 80 mm и диаметром горловины 40 mm. Давление на входе на 59 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 59 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 250 mm, горловина 125 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 300 mm. Коэффициент расхода равен 0,97. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 300 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 2 L/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 2 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 400 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 48 m, а мощность на его валу 23,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 40 L/sH = 48 mP_shaft = 23,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 8 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 65%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 8 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину по дну 5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 1,3 mz = 3n = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 450 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1,2 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 82,77 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Ответ

F = 82,77 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 222,5 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·4,5 = 222,5 kN

Ответ

F = 222,5 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 14,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(40/80)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·59000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,22 m/s

v₁ = 2,805 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,001257·11,22 = 0,0141 m³/s = 14,1 L/s

Ответ

Q = 14,1 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 105,9 L/s

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,3 = 37082 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·37082/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,894 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,01227·8,894 = 0,1059 m³/s = 105,9 L/s

Ответ

Q = 105,9 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 3,173 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 3,173 m

Ответ

h_f = 3,173 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 1,593 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Полная потеря напора

h_f = 20·0,06529 = 1,306 m

h_m = 4,4·0,06529 = 0,2873 m

Δz = h_f + h_m = 1,593 m

Ответ

Δz = 1,593 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 80,15 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·48 = 18,84 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 18,84/23,5 = 80,15%

Ответ

η = 80,15%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 0,9862 kW

Скорость

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0,05288 = 2,168 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 6 + 2,168 = 8,168 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,008·8,168/0,65 = 0,9862 kW

Ответ

P_shaft = 0,9862 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 19,33 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,3)·1,3 = 11,57 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,3·√(1 + 3²) = 13,22 m

R = A/P = 0,8751 m

Скорость

V = (1/0,03)·0,8751^2/3·0,003^1/2 = 1,67 m/s

Расход

Q = A·V = 11,57·1,67 = 19,33 m³/s

Ответ

Q = 19,33 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004481 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,233)² = 0,004481

Ответ

S = 0,004481

Это понижение на 4,481 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering