Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 3 mH = 2,5 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 4 mH = 3 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
12d1​ = 200 mm, p1​ = 100 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 200 mm до 40 mm. В широкой части давление 100 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в узкой части.

d1 = 200 mmd2 = 40 mmp1 = 100 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Неразрывность и БернуллиСложная
12d1​ = 150 mm, p1​ = 100 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 6 m

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 100 mm и поднимается на 6 m. В сечении 1 давление 100 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в сечении 2.

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 100 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
V = 2,9 m/sD = 250 mmL = 100 mf = 0,028

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,9 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,9 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 0,2Δz = 23 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,0153× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 23 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 23 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 40 L/sH = 60 m

При испытании насос подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 60 m, а мощность на его валу 39,2 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 40 L/sH = 60 mPshaft = 39,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
PQ = 80 L/sΔz = 10 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0,015, ΣK = 4

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 4 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 85%. Найдите мощность на валу Pshaft в kW.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4η = 85%
Pshaft = kW
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя
b = 2,5 my = 1,3 mn = 0,014, S = 0,0008

Прямоугольный канал (необработанный бетон) имеет ширину 2,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,3 mn = 0,014S = 0,0008
Q = m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная
b = 1 my = 1,8 mn = 0,014, Q = 2,7 m³/s

Прямоугольный канал (необработанный бетон) шириной 1 m должен пропускать 2,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 1 my = 1,8 mn = 0,014
S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 208,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
затворd = 3 mH = 2,5 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Ответ

F = 208,5 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 161,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
затворd = 4 mH = 3 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·3 = 161,9 kN

Ответ

F = 161,9 kN
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 22 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(200/40)² = 12,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 12,5²)/1000 = −78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 100 + (−78) = 22 kPa

Ответ

p2 = 22 kPa
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 25,78 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(150/100)² = 6,188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 100 + (−15,36) − 58,86 = 25,78 kPa

Ответ

p2 = 25,78 kPa
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 47,1 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,25)·2,9²/(2·9,81) = 4,801 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,801 = 47096 Pa = 47,1 kPa

Ответ

Δp = 47,1 kPa
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 105,8 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

23 = (10 + 2,6)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·23/12,6) = 5,985 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,985·0,01767 = 0,1058 m³/s = 105,8 L/s

Ответ

Q = 105,8 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 60,06 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·60 = 23,54 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 23,54/39,2 = 60,06%

Ответ

η = 60,06%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: Pshaft = 15,03 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,3305 = 6,28 m

Напор насоса

H = Δz + hL = 10 + 6,28 = 16,28 m

Мощность на валу

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·16,28/0,85 = 15,03 kW

Ответ

Pshaft = 15,03 kW
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 4,862 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·1,3 = 3,25 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,3 = 5,1 m
R = A/P = 0,6373 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,63732/3·0,00081/2 = 1,496 m/s

Расход

Q = A·V = 3,25·1,496 = 4,862 m³/s

Ответ

Q = 4,862 m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001541 m/m

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·1,8 = 1,8 m²
P = b + 2y = 1 + 2·1,8 = 4,6 m
R = A/P = 0,3913 m

Выразите S из формулы Маннинга

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·2,7/(1,8·0,535) = 0,03925
S = 0,03925² = 0,001541

Ответ

S = 0,001541

Это понижение на 1,541 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering