Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 40 mm. В широкой части давление 390 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm и поднимается на 6 m. В сечении 1 давление 100 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 100 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 15 L/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 15 L/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 78 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sH = 78 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 17 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 350 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 3,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3,5 my = 1 mz = 3n = 0,014S = 0,005

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) с шириной по дну 1 m и заложением откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 41 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 41 m³/sb = 1 my = 2,2 mz = 3n = 0,014

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 196,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN

Ответ

F = 196,2 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,519 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·1,5 = 58,27 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,125/(4,5·1,5) = 4,519 m

Ответ

y_cp = 4,519 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 371 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/40)² = 6,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 6,25²)/1000 = −19,03 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−19,03) = 371 kPa

Ответ

p₂ = 371 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 40,53 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 100 + (−0,6076) − 58,86 = 40,53 kPa

Ответ

p₂ = 40,53 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 2,203 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 2,203 m

Ответ

h_f = 2,203 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 11,72 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 15 + 6,7)·0,5164 = 11,72 m

Ответ

H = 11,72 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 57,39 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·78 = 45,91 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 45,91/0,8 = 57,39 kW

Ответ

P_shaft = 57,39 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 59,21 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 6)·0,2905 = 6,536 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 35,68 + 6,536 = 59,21 m

Ответ

H = 59,21 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 24,93 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·1)·1 = 6,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1·√(1 + 3²) = 9,825 m

R = A/P = 0,6616 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,6616^2/3·0,005^1/2 = 3,835 m/s

Расход

Q = A·V = 6,5·3,835 = 24,93 m³/s

Ответ

Q = 24,93 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001012 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·2,2)·2,2 = 16,72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 14,91 m

R = A/P = 1,121 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·41/(16,72·1,079) = 0,03181

S = 0,03181² = 0,001012

Ответ

S = 0,001012

Это понижение на 1,012 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering