Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 4 mH = 1,5 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 3 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
d1​ = 150 mmd2​ = 75 mm12p1​ − p2​ = 37 kPaQ = ?

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 150 mm и диаметром горловины 75 mm. Давление на входе на 37 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 37 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Неразрывность и БернуллиСложная
12d1​ = 100 mm, p1​ = 190 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 40 mm и поднимается на 10 m. В сечении 1 давление 190 kPa, а скорость 1,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в сечении 2.

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 190 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
Q = 60 L/sD = 150 mmL = 200 mf = 0,03

Вода течёт с расходом 60 L/s по трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 10Δz = 28 mL = 300 m, D = 300 mm, f = 0,0183× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 28 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 28 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 25 L/sH = 18 m

При испытании насос подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 18 m, а мощность на его валу 5,9 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 25 L/sH = 18 mPshaft = 5,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
150 kPa (избыточное)PQ = 60 L/sΔz = 17 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0,018, ΣK = 6

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 17 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 150 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя
b = 2,5 my = 0,5 mn = 0,022, S = 0,002

Прямоугольный канал (чистый грунт) имеет ширину 2,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 0,5 mn = 0,022S = 0,002
Q = m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная
b = 2,5 my = 1,7 mn = 0,012, Q = 9 m³/s

Прямоугольный канал (затёртый бетон) шириной 2,5 m должен пропускать 9 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 9 m³/sb = 2,5 my = 1,7 mn = 0,012
S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 69,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
затворd = 4 mH = 1,5 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·1,5 = 69,9 kN

Ответ

F = 69,9 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 296,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
затворd = 3 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4·6 = 296,7 kN

Ответ

F = 296,7 kN
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 39,25 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·37000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,884 m/s
v1 = 2,221 m/s

Расход

Q = A2·v2 = 0,004418·8,884 = 0,03925 m³/s = 39,25 L/s

Ответ

Q = 39,25 L/s
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 62,16 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(100/40)² = 7,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 7,813²)/1000 = −29,74 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 190 + (−29,74) − 98,1 = 62,16 kPa

Ответ

p2 = 62,16 kPa
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 23,5 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,15)·3,395²/(2·9,81) = 23,5 m

Ответ

hf = 23,5 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 300,5 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

28 = (18 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·28/30,4) = 4,251 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,251·0,07069 = 0,3005 m³/s = 300,5 L/s

Ответ

Q = 300,5 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 74,82 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·18 = 4,415 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 4,415/5,9 = 74,82%

Ответ

η = 74,82%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 35,08 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 6)·0,1859 = 2,789 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 17 + 15,29 + 2,789 = 35,08 m

Ответ

H = 35,08 m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 1,279 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·0,5 = 1,25 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·0,5 = 3,5 m
R = A/P = 0,3571 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,35712/3·0,0021/2 = 1,023 m/s

Расход

Q = A·V = 1,25·1,023 = 1,279 m³/s

Ответ

Q = 1,279 m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001 m/m

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·1,7 = 4,25 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,7 = 5,9 m
R = A/P = 0,7203 m

Выразите S из формулы Маннинга

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·9/(4,25·0,8036) = 0,03162
S = 0,03162² = 0,001

Ответ

S = 0,001

Это понижение на 1 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering