Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 5 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 100 mm до 75 mm. Давление в узком сечении равно 200 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 5 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 200 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm и поднимается на 1 m. В сечении 1 давление 380 kPa, а скорость 1,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 6 L/s по трубе длиной 300 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 6 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 30 m. КПД насоса 82%, а КПД приводящего его электродвигателя 95%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 30 L/sH = 30 mη_pump = 82%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 18 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 18 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (затёртый бетон) имеет ширину 4,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4,5 my = 1,3 mn = 0,012S = 0,005

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (затёртый бетон) шириной 5,5 m должен пропускать 7,1 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 7,1 m³/sb = 5,5 my = 0,9 mn = 0,012

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 183,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Ответ

F = 183,9 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 29,43 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN

Ответ

F = 29,43 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 200,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,005/0,007854 = 0,6366 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 200 + ½·1000·(1,132² − 0,6366²)/1000 = 200 + 0,4378 = 200,4 kPa

Ответ

p₁ = 200,4 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 361,3 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(75/40)² = 4,395 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 4,395²)/1000 = −8,875 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−8,875) − 9,81 = 361,3 kPa

Ответ

p₂ = 361,3 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 2,231 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,7639²/(2·9,81) = 0,02975 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,1)·0,7639²/(2·9,81) = 2,231 m

Ответ

h_f = 2,231 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 16,23 m

Скорость

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Полная потеря напора

h_f = 26,4·0,4759 = 12,56 m

h_m = 7,7·0,4759 = 3,665 m

Δz = h_f + h_m = 16,23 m

Ответ

Δz = 16,23 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 11,33 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·30 = 8,829 kW

Мощность на валу

P_shaft = 8,829/0,82 = 10,77 kW

Электрическая мощность

P_el = 10,77/0,95 = 11,33 kW

Ответ

P_el = 11,33 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 22,83 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,1859 = 4,834 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 18 + 4,834 = 22,83 m

Ответ

H = 22,83 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 30,3 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 4,5·1,3 = 5,85 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,3 = 7,1 m

R = A/P = 0,8239 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,8239^2/3·0,005^1/2 = 5,179 m/s

Расход

Q = A·V = 5,85·5,179 = 30,3 m³/s

Ответ

Q = 30,3 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0004973 m/m

Геометрия

A = b·y = 5,5·0,9 = 4,95 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·0,9 = 7,3 m

R = A/P = 0,6781 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·7,1/(4,95·0,7718) = 0,0223

S = 0,0223² = 0,0004973

Ответ

S = 0,0004973

Это понижение на 0,4973 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering