Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 4 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,61. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 4 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Сопло фонтана направлено вертикально вверх. Непосредственно под соплом подводящая труба имеет диаметр 100 mm и избыточное давление 70 kPa. Выходной диаметр сопла 20 mm, разностью высот по длине сопла можно пренебречь. Пренебрегая потерями и сопротивлением воздуха, найдите высоту H, на которую струя поднимается над соплом. Примите g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 70 kPa (избыточное)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1 m/s по горизонтальной трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 200 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,018) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 76 m. КПД насоса 78%, а КПД приводящего его электродвигателя 88%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 60 L/sH = 76 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 16 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 82%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 1 mz = 2n = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 3 m должен пропускать 8,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 8,7 m³/sb = 3 my = 1,4 mn = 0,015

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 22,07 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Ответ

F = 22,07 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 107,5 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,75·2,25 = 107,5 kN

Ответ

F = 107,5 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 1,698 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,0003142·8,859 = 0,001698 m³/s = 1,698 L/s

Ответ

Q = 1,698 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: H = 7,147 m

Скорость на выходе

β = 20/100 = 0,2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0,9984)) = 11,84 m/s

Высота струи

Уравнение Бернулли вдоль струи: в верхней точке скорость равна нулю, а давление снова атмосферное.

H = v₂²/(2g) = 11,84²/(2·9,81) = 7,147 m

Ответ

H = 7,147 m

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 15 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,25)·1²/(2·9,81) = 1,529 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,529 = 15000 Pa = 15 kPa

Ответ

Δp = 15 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 1,401 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 14,4 + 11,1)·0,05288 = 1,401 m

Ответ

H = 1,401 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 65,17 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·76 = 44,73 kW

Мощность на валу

P_shaft = 44,73/0,78 = 57,35 kW

Электрическая мощность

P_el = 57,35/0,88 = 65,17 kW

Ответ

P_el = 65,17 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 14,37 kW

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,67 + 5)·0,408 = 8,025 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 16 + 8,025 = 24,02 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·24,02/0,82 = 14,37 kW

Ответ

P_shaft = 14,37 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 13,08 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·1)·1 = 7,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1·√(1 + 2²) = 9,972 m

R = A/P = 0,7521 m

Скорость

V = (1/0,03)·0,7521^2/3·0,004^1/2 = 1,744 m/s

Расход

Q = A·V = 7,5·1,744 = 13,08 m³/s

Ответ

Q = 13,08 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001485 m/m

Геометрия

A = b·y = 3·1,4 = 4,2 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,4 = 5,8 m

R = A/P = 0,7241 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·8,7/(4,2·0,8064) = 0,03853

S = 0,03853² = 0,001485

Ответ

S = 0,001485

Это понижение на 1,485 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering