Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm. В широкой части давление 110 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 110 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 80 mm, горловина 40 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 390 mm. Коэффициент расхода равен 0,95. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 390 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,9 m/s по горизонтальной трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,9 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 150 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,018) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 68 m, а мощность на его валу 22,2 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 25 L/sH = 68 mP_shaft = 22,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 2 mz = 2n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 375 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,75 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 147,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Ответ

F = 147,2 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,667 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·3 = 116,5 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 2,25/(4,5·3) = 4,667 m

Ответ

y_cp = 4,667 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 102,5 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−7,5) = 102,5 kPa

Ответ

p₂ = 102,5 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 12,11 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,39 = 48206 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 40/80 = 0,5

v₂ = √(2·48206/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,14 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,001257·10,14 = 0,01211 m³/s = 12,11 L/s

Ответ

Q = 12,11 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 161,7 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,25)·1,9²/(2·9,81) = 16,49 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·16,49 = 161728 Pa = 161,7 kPa

Ответ

Δp = 161,7 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 15,1 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 18 + 6,7)·0,5876 = 15,1 m

Ответ

H = 15,1 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 75,12 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·68 = 16,68 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 16,68/22,2 = 75,12%

Ответ

η = 75,12%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 32,44 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 5)·0,408 = 22,44 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 10 + 22,44 = 32,44 m

Ответ

H = 32,44 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 56,79 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·2)·2 = 19 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2·√(1 + 2²) = 14,44 m

R = A/P = 1,315 m

Скорость

V = (1/0,022)·1,315^2/3·0,003^1/2 = 2,989 m/s

Расход

Q = A·V = 19·2,989 = 56,79 m³/s

Ответ

Q = 56,79 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002232 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2064)² = 0,002232

Ответ

S = 0,002232

Это понижение на 2,232 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering