Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 200 mm до 75 mm. В широкой части давление 390 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Сопло фонтана направлено вертикально вверх. Непосредственно под соплом подводящая труба имеет диаметр 100 mm и избыточное давление 80 kPa. Выходной диаметр сопла 20 mm, разностью высот по длине сопла можно пренебречь. Пренебрегая потерями и сопротивлением воздуха, найдите высоту H, на которую струя поднимается над соплом. Примите g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 80 kPa (избыточное)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,4 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,4 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 400 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 32 m. КПД насоса 85%, а КПД приводящего его электродвигателя 90%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 60 L/sH = 32 mη_pump = 85%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (гравий) имеет ширину 1 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 1,8 mn = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 33,11 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN

Ответ

F = 33,11 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 5,636 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,5·4,5 = 213,7 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 3,375/(5,5·4,5) = 5,636 m

Ответ

y_cp = 5,636 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 376,1 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(200/75)² = 5,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 5,333²)/1000 = −13,94 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−13,94) = 376,1 kPa

Ответ

p₂ = 376,1 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: H = 8,168 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость на выходе

β = 20/100 = 0,2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0,9984)) = 12,66 m/s

Высота струи

Уравнение Бернулли вдоль струи: в верхней точке скорость равна нулю, а давление снова атмосферное.

H = v₂²/(2g) = 12,66²/(2·9,81) = 8,168 m

Ответ

H = 8,168 m

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 24 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 2,446 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,446 = 24000 Pa = 24 kPa

Ответ

Δp = 24 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 3,336 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 20 + 11,7)·0,102 = 3,336 m

Ответ

H = 3,336 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 24,62 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·32 = 18,84 kW

Мощность на валу

P_shaft = 18,84/0,85 = 22,16 kW

Электрическая мощность

P_el = 22,16/0,9 = 24,62 kW

Ответ

P_el = 24,62 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 39,85 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0,07615 = 4,264 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 30,58 + 4,264 = 39,85 m

Ответ

H = 39,85 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 2,11 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·1,8 = 1,8 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,3913 m

Скорость

V = (1/0,025)·0,3913^2/3·0,003^1/2 = 1,172 m/s

Расход

Q = A·V = 1,8·1,172 = 2,11 m³/s

Ответ

Q = 2,11 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,006814 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,1575)² = 0,006814

Ответ

S = 0,006814

Это понижение на 6,814 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering