Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 200 mm до 75 mm. В широкой части давление 260 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 50 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 0,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 3 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q.

d = 50 mmz_C = +0,5 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,5 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,5 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 10 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 32 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 10 L/sH = 32 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 5

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 3,5 m и заложение откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,001. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3,5 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,012S = 0,001

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 2 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 6,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 6,7 m³/sb = 2 my = 0,9 mz = 1,5n = 0,012

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 193,1 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Ответ

F = 193,1 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,8 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·4,5 = 169,7 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,8438/(3,75·4,5) = 3,8 m

Ответ

y_cp = 3,8 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 235,2 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7,111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7,111²)/1000 = −24,78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 260 + (−24,78) = 235,2 kPa

Ответ

p₂ = 235,2 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 15,06 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Расход

Q = A·v = 0,001963·7,672 = 0,01506 m³/s = 15,06 L/s

Ответ

Q = 15,06 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 16,5 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,15)·1,5²/(2·9,81) = 1,682 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,682 = 16500 Pa = 16,5 kPa

Ответ

Δp = 16,5 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 2,899 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 7,333 + 11,4)·0,1469 = 2,899 m

Ответ

H = 2,899 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 3,924 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·32 = 3,139 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 3,139/0,8 = 3,924 kW

Ответ

P_shaft = 3,924 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 6,295 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0,07615 = 1,295 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 5 + 1,295 = 6,295 m

Ответ

H = 6,295 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,044 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,5)·0,5 = 2,125 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 5,303 m

R = A/P = 0,4007 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,4007^2/3·0,001^1/2 = 1,432 m/s

Расход

Q = A·V = 2,125·1,432 = 3,044 m³/s

Ответ

Q = 3,044 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001488 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·0,9)·0,9 = 3,015 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,9·√(1 + 1,5²) = 5,245 m

R = A/P = 0,5748 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·6,7/(3,015·0,6913) = 0,03857

S = 0,03857² = 0,001488

Ответ

S = 0,001488

Это понижение на 1,488 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering