Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 25 mm. В широкой части давление 390 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Сопло фонтана направлено вертикально вверх. Непосредственно под соплом подводящая труба имеет диаметр 75 mm и избыточное давление 130 kPa. Выходной диаметр сопла 40 mm, разностью высот по длине сопла можно пренебречь. Пренебрегая потерями и сопротивлением воздуха, найдите высоту H, на которую струя поднимается над соплом. Примите g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 130 kPa (избыточное)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,8 m/s по трубе длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,8 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 26 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 26 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 28 m, а мощность на его валу 8,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 20 L/sH = 28 mP_shaft = 8,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 19 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 150 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 20 L/sΔz = 19 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 1,2 mz = 3n = 0,012S = 0,002

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (гравий) с шириной по дну 3 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 4 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4 m³/sb = 3 my = 0,9 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·1,5 = 18,54 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,125/(1·1,5) = 1,083 m

Ответ

y_cp = 1,083 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 380 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/25)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−10) = 380 kPa

Ответ

p₂ = 380 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: H = 14,42 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость на выходе

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9191)) = 16,82 m/s

Высота струи

Уравнение Бернулли вдоль струи: в верхней точке скорость равна нулю, а давление снова атмосферное.

H = v₂²/(2g) = 16,82²/(2·9,81) = 14,42 m

Ответ

H = 14,42 m

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 13,43 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,25)·2,8²/(2·9,81) = 13,43 m

Ответ

h_f = 13,43 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 290,2 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

26 = (12 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·26/14,6) = 5,911 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,911·0,04909 = 0,2902 m³/s = 290,2 L/s

Ответ

Q = 290,2 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 64,63 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·28 = 5,494 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 5,494/8,5 = 64,63%

Ответ

η = 64,63%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 45,2 m

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,3305 = 10,91 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 19 + 15,29 + 10,91 = 45,2 m

Ответ

H = 45,2 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 33,69 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,2)·1,2 = 10,32 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,2·√(1 + 3²) = 12,59 m

R = A/P = 0,8197 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,8197^2/3·0,002^1/2 = 3,264 m/s

Расход

Q = A·V = 10,32·3,264 = 33,69 m³/s

Ответ

Q = 33,69 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001494 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·0,9)·0,9 = 3,51 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,9·√(1 + 1²) = 5,546 m

R = A/P = 0,6329 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·4/(3,51·0,7372) = 0,03865

S = 0,03865² = 0,001494

Ответ

S = 0,001494

Это понижение на 1,494 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering