Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в водопроводной трубе показывает разность 31 kPa между давлением торможения и статическим давлением. Найдите скорость воды v у носика трубки.

p₀ − p = 31 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 50 mm и поднимается на 8 m. В сечении 1 давление 350 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 350 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2 m/s по трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 12 m. КПД насоса 80%, а КПД приводящего его электродвигателя 92%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 100 L/sH = 12 mη_pump = 80%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 82%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (необработанный бетон) имеет ширину 5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 1,1 mn = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 200 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,6 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 165,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Ответ

F = 165,5 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 12,95 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·1,5 = 12,95 kN

Ответ

F = 12,95 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 7,874 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·31000/1000) = 7,874 m/s

Ответ

v = 7,874 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 267,3 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−4,219) − 78,48 = 267,3 kPa

Ответ

p₂ = 267,3 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 54,37 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,075)·2²/(2·9,81) = 54,37 m

Ответ

h_f = 54,37 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 2,693 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·300/0,3 = 22

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Полная потеря напора

h_f = 22·0,102 = 2,244 m

h_m = 4,4·0,102 = 0,4488 m

Δz = h_f + h_m = 2,693 m

Ответ

Δz = 2,693 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 15,99 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·12 = 11,77 kW

Мощность на валу

P_shaft = 11,77/0,8 = 14,71 kW

Электрическая мощность

P_el = 14,71/0,92 = 15,99 kW

Ответ

P_el = 15,99 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 6,976 kW

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,1859 = 3,718 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 6 + 3,718 = 9,718 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·9,718/0,82 = 6,976 kW

Ответ

P_shaft = 6,976 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 17,98 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 5·1,1 = 5,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,1 = 7,2 m

R = A/P = 0,7639 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,7639^2/3·0,003^1/2 = 3,269 m/s

Расход

Q = A·V = 5,5·3,269 = 17,98 m³/s

Ответ

Q = 17,98 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003303 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303

Ответ

S = 0,003303

Это понижение на 3,303 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering