Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в аэродинамической трубе показывает разность 500 Pa между давлением торможения и статическим давлением. Плотность воздуха 1,2 kg/m³. Найдите скорость воздуха v.

p₀ − p = 500 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 20 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 3 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 4,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите абсолютное давление p_C в точке C. Атмосферное давление равно 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +3 mz₂ = −4,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 60 L/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 60 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,025. Уровень воды в верхнем резервуаре на 21 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 21 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 26 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 15 L/sH = 26 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 12 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 350 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 350 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 4 m и заложение откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (необработанный бетон) шириной 5 m должен пропускать 40 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 40 m³/sb = 5 my = 2,5 mn = 0,014

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 138 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Ответ

F = 138 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,939 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·7,5 = 178,1 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 3,906/(2,75·7,5) = 2,939 m

Ответ

y_cp = 2,939 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 28,87 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·500/1,2) = 28,87 m/s

Ответ

v = 28,87 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p_C = 27,72 kPa

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 73,58 = 27,72 kPa

Ответ

p_C = 27,72 kPa

Если это давление упадёт до давления насыщенных паров воды, сифон перестанет работать.

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,53 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 1,53 m

Ответ

h_f = 1,53 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 324,1 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

21 = (12,5 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/19,6) = 4,585 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,585·0,07069 = 0,3241 m³/s = 324,1 L/s

Ответ

Q = 324,1 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 4,782 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·26 = 3,826 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 3,826/0,8 = 4,782 kW

Ответ

P_shaft = 4,782 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 52,33 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 8)·0,1354 = 4,657 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 12 + 35,68 + 4,657 = 52,33 m

Ответ

H = 52,33 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 7,022 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·0,6)·0,6 = 2,94 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 6,163 m

R = A/P = 0,477 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,477^2/3·0,003^1/2 = 2,388 m/s

Расход

Q = A·V = 2,94·2,388 = 7,022 m³/s

Ответ

Q = 7,022 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001491 m/m

Геометрия

A = b·y = 5·2,5 = 12,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·2,5 = 10 m

R = A/P = 1,25 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·40/(12,5·1,16) = 0,03861

S = 0,03861² = 0,001491

Ответ

S = 0,001491

Это понижение на 1,491 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering