Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 50 mm. В широкой части давление 200 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 200 mm до 100 mm и поднимается на 3 m. В сечении 1 давление 350 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 350 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,2 m/s по горизонтальной трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,2 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 42 m. КПД насоса 65%, а КПД приводящего его электродвигателя 94%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 20 L/sH = 42 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 750 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 450 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,75 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 27,59 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·2,25 = 27,59 kN

Ответ

F = 27,59 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 395,9 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,25·7,5 = 395,9 kN

Ответ

F = 395,9 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 198,9 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−1,143) = 198,9 kPa

Ответ

p₂ = 198,9 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 263,9 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(200/100)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−56,72) − 29,43 = 263,9 kPa

Ответ

p₂ = 263,9 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 58,08 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,25)·2,2²/(2·9,81) = 5,92 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,92 = 58080 Pa = 58,08 kPa

Ответ

Δp = 58,08 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 0,8148 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 6 + 3,7)·0,07615 = 0,8148 m

Ответ

H = 0,8148 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 13,49 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·42 = 8,24 kW

Мощность на валу

P_shaft = 8,24/0,65 = 12,68 kW

Электрическая мощность

P_el = 12,68/0,94 = 13,49 kW

Ответ

P_el = 13,49 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 1,712 kW

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,67 + 5)·0,06529 = 1,284 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 5 + 1,284 = 6,284 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·6,284/0,72 = 1,712 kW

Ответ

P_shaft = 1,712 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,6098 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,003^1/2 = 1,38 m/s

Расход

Q = A·V = 0,4418·1,38 = 0,6098 m³/s

Ответ

Q = 0,6098 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,00175 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,233)² = 0,00175

Ответ

S = 0,00175

Это понижение на 1,75 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering