Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 50 mm. В широкой части давление 150 kPa, а скорость 1,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 40 mm и поднимается на 9 m. В сечении 1 давление 300 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,3 m/s по горизонтальной трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,3 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 14 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sH = 14 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 5 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,0005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 1,2 mz = 1n = 0,012S = 0,0005

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (затёртый бетон) шириной 4 m должен пропускать 6,5 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 6,5 m³/sb = 4 my = 0,6 mn = 0,012

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 58,86 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·4 = 58,86 kN

Ответ

F = 58,86 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·1 = 12,36 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,08333/(1·1) = 1,083 m

Ответ

y_cp = 1,083 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 143,8 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(75/50)² = 3,938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 3,938²)/1000 = −6,221 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−6,221) = 143,8 kPa

Ответ

p₂ = 143,8 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 113,3 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14,06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14,06²)/1000 = −98,38 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−98,38) − 88,29 = 113,3 kPa

Ответ

p₂ = 113,3 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 18,59 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,2)·1,3²/(2·9,81) = 1,895 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,895 = 18590 Pa = 18,59 kPa

Ответ

Δp = 18,59 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 8,072 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Полная потеря напора

h_f = 14,4·0,3046 = 4,386 m

h_m = 12,1·0,3046 = 3,686 m

Δz = h_f + h_m = 8,072 m

Ответ

Δz = 8,072 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 10,3 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·14 = 8,24 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 8,24/0,8 = 10,3 kW

Ответ

P_shaft = 10,3 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 11,05 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17,6 + 8)·0,119 = 3,046 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 8 + 3,046 = 11,05 m

Ответ

H = 11,05 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 12,79 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,2)·1,2 = 7,44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 8,394 m

R = A/P = 0,8863 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,8863^2/3·0,0005^1/2 = 1,719 m/s

Расход

Q = A·V = 7,44·1,719 = 12,79 m³/s

Ответ

Q = 12,79 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002961 m/m

Геометрия

A = b·y = 4·0,6 = 2,4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0,6 = 5,2 m

R = A/P = 0,4615 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·6,5/(2,4·0,5972) = 0,05442

S = 0,05442² = 0,002961

Ответ

S = 0,002961

Это понижение на 2,961 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering