Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 2 mH = 3 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 1,5 mH = 3 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину ycp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
Q = ?d = 20 mm, Cd​ = 0,65h = 3,5 m

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 3,5 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,65. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 3,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Неразрывность и БернуллиСложная
12d1​ = 200 mm, p1​ = 170 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 6 m

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 200 mm до 75 mm и поднимается на 6 m. В сечении 1 давление 170 kPa, а скорость 1,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в сечении 2.

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 170 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
Q = 12 L/sD = 100 mmL = 150 mf = 0,018

Вода течёт с расходом 12 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

Q = 12 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 2Δz = 14 mL = 100 m, D = 300 mm, f = 0,024× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 14 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 14 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 150 L/sH = 40 m

При испытании насос подаёт 150 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 40 m, а мощность на его валу 90,6 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 150 L/sH = 40 mPshaft = 90,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
300 kPa (избыточное)PQ = 12 L/sΔz = 8 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0,018, ΣK = 8

Насос перекачивает 12 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 12 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя
b = 4 my = 1,1 mn = 0,012, S = 0,001

Прямоугольный канал (затёртый бетон) имеет ширину 4 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,001. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4 my = 1,1 mn = 0,012S = 0,001
Q = m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная
D = 600 mmn = 0,013, V = 0,6 m/s

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 600 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,6 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 309 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
затворd = 2 mH = 3 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Ответ

F = 309 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: ycp = 3,25 m

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
затворd = 1,5 mH = 3 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·4,5 = 132,4 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

Ic = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 3,375/(3·4,5) = 3,25 m

Ответ

ycp = 3,25 m
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 1,692 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·8,287 = 0,001692 m³/s = 1,692 L/s

Ответ

Q = 1,692 L/s
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 72,42 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(200/75)² = 8,889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 8,889²)/1000 = −38,72 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 170 + (−38,72) − 58,86 = 72,42 kPa

Ответ

p2 = 72,42 kPa
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 3,213 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,1)·1,528²/(2·9,81) = 3,213 m

Ответ

hf = 3,213 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 347,5 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

14 = (6,667 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·14/11,37) = 4,916 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,916·0,07069 = 0,3475 m³/s = 347,5 L/s

Ответ

Q = 347,5 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 64,97 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·40 = 58,86 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 58,86/90,6 = 64,97%

Ответ

η = 64,97%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 41,67 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,119 = 3,094 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 30,58 + 3,094 = 41,67 m

Ответ

H = 41,67 m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 9,225 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 4·1,1 = 4,4 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1,1 = 6,2 m
R = A/P = 0,7097 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,70972/3·0,0011/2 = 2,097 m/s

Расход

Q = A·V = 4,4·2,097 = 9,225 m³/s

Ответ

Q = 9,225 m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0007634 m/m

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,2823)² = 0,0007634

Ответ

S = 0,0007634

Это понижение на 0,7634 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering