Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm. В широкой части давление 120 kPa, а скорость 3 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 120 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 32 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 1,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 5 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q.

d = 32 mmz_C = +1,5 mz₂ = −5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,8 m/s по горизонтальной трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,8 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 75% подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 46 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sH = 46 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 24 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 100 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 24 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 300 mm заполнен наполовину. Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (чистый грунт) с шириной по дну 3 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 43 m³/s при равномерном течении с глубиной 2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 43 m³/sb = 3 my = 2 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 176,6 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Ответ

F = 176,6 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,042 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·3 = 60,33 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,25/(2·3) = 2,042 m

Ответ

y_cp = 2,042 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 68,88 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−51,12) = 68,88 kPa

Ответ

p₂ = 68,88 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 7,966 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0008042·9,905 = 0,007966 m³/s = 7,966 L/s

Ответ

Q = 7,966 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 261,3 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,3)·2,8²/(2·9,81) = 26,64 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·26,64 = 261333 Pa = 261,3 kPa

Ответ

Δp = 261,3 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 3,415 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Полная потеря напора

h_f = 24·0,119 = 2,856 m

h_m = 4,7·0,119 = 0,5592 m

Δz = h_f + h_m = 3,415 m

Ответ

Δz = 3,415 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 12,03 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·46 = 9,025 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 9,025/0,75 = 12,03 kW

Ответ

P_shaft = 12,03 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 45,68 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,2611 = 11,49 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 24 + 10,19 + 11,49 = 45,68 m

Ответ

H = 45,68 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,03058 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,03534 m², R = D/4 = 0,075 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,004^1/2 = 0,8652 m/s

Расход

Q = A·V = 0,03534·0,8652 = 0,03058 m³/s

Ответ

Q = 0,03058 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,005011 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·2)·2 = 12 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 10,21 m

R = A/P = 1,175 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·43/(12·1,114) = 0,07079

S = 0,07079² = 0,005011

Ответ

S = 0,005011

Это понижение на 5,011 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering