Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 150 mm и диаметром горловины 75 mm. Давление на входе на 46 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 46 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 300 mm, горловина 150 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 390 mm. Коэффициент расхода равен 0,96. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 390 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,1 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 78% подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 74 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 30 L/sH = 74 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 100 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 1200 mm заполнен наполовину. Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (гравий) с шириной по дну 4 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 15 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 15 m³/sb = 4 my = 1,5 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 183,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Ответ

F = 183,9 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 5,349 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,25·7,5 = 395,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 3,906/(5,25·7,5) = 5,349 m

Ответ

y_cp = 5,349 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 43,76 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·46000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,906 m/s

v₁ = 2,477 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,004418·9,906 = 0,04376 m³/s = 43,76 L/s

Ответ

Q = 43,76 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 172 L/s

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,39 = 48206 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 150/300 = 0,5

v₂ = √(2·48206/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,14 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,01767·10,14 = 0,172 m³/s = 172 L/s

Ответ

Q = 172 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 46,3 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,2)·2,1²/(2·9,81) = 4,72 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,72 = 46305 Pa = 46,3 kPa

Ответ

Δp = 46,3 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 10,08 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Полная потеря напора

h_f = 20·0,408 = 8,161 m

h_m = 4,7·0,408 = 1,918 m

Δz = h_f + h_m = 10,08 m

Ответ

Δz = 10,08 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 27,92 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·74 = 21,78 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 21,78/0,78 = 27,92 kW

Ответ

P_shaft = 27,92 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 49,43 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0,2115 = 11,85 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 30,58 + 11,85 = 49,43 m

Ответ

H = 49,43 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,5514 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0008^1/2 = 0,975 m/s

Расход

Q = A·V = 0,5655·0,975 = 0,5514 m³/s

Ответ

Q = 0,5514 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002064 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1,5)·1,5 = 8,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 8,243 m

R = A/P = 1,001 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·15/(8,25·1,001) = 0,04543

S = 0,04543² = 0,002064

Ответ

S = 0,002064

Это понижение на 2,064 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering