Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm. В широкой части давление 200 kPa, а скорость 2 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm и поднимается на 1 m. В сечении 1 давление 130 kPa, а скорость 2 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 130 kPav₁ = 2 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 40 L/s по трубе длиной 300 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 10 m, а мощность на его валу 6,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 50 L/sH = 10 mP_shaft = 6,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 12 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 150 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 12 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 6 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 6 my = 1,1 mz = 2n = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) с шириной по дну 5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 12 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 12 m³/sb = 5 my = 1,7 mz = 2n = 0,03

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 104,8 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN

Ответ

F = 104,8 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 5,636 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·3 = 161,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m

Ответ

y_cp = 5,636 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 195,7 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/75)² = 3,556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 3,556²)/1000 = −4,321 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−4,321) = 195,7 kPa

Ответ

p₂ = 195,7 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 115,9 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/75)² = 3,556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 3,556²)/1000 = −4,321 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 130 + (−4,321) − 9,81 = 115,9 kPa

Ответ

p₂ = 115,9 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 2,231 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,2)·1,273²/(2·9,81) = 2,231 m

Ответ

h_f = 2,231 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 1,149 m

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Полная потеря напора

h_f = 15·0,06529 = 0,9793 m

h_m = 2,6·0,06529 = 0,1697 m

Δz = h_f + h_m = 1,149 m

Ответ

Δz = 1,149 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 75,46 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·10 = 4,905 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 4,905/6,5 = 75,46%

Ответ

η = 75,46%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 27,36 m

Скорость

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0,119 = 6,068 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 15,29 + 6,068 = 27,36 m

Ответ

H = 27,36 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 37,43 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·1,1)·1,1 = 9,02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 10,92 m

R = A/P = 0,8261 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,8261^2/3·0,005^1/2 = 4,15 m/s

Расход

Q = A·V = 9,02·4,15 = 37,43 m³/s

Ответ

Q = 37,43 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,000538 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1,7)·1,7 = 14,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,7·√(1 + 2²) = 12,6 m

R = A/P = 1,133 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·12/(14,28·1,087) = 0,0232

S = 0,0232² = 0,000538

Ответ

S = 0,000538

Это понижение на 0,538 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering