Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 50 mm. В широкой части давление 190 kPa, а скорость 2,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm и поднимается на 4 m. В сечении 1 давление 280 kPa, а скорость 2,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 1,6 m/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 1,6 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 16 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 16 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 150 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 24 m, а мощность на его валу 44,1 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 150 L/sH = 24 mP_shaft = 44,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 17 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (затёртый бетон) имеет ширину 1 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 1 mn = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (чистый грунт) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 52 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 52 m³/sb = 3,5 my = 2,1 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 66,22 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Ответ

F = 66,22 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,519 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,5·1 = 55,62 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,08333/(4,5·1) = 4,519 m

Ответ

y_cp = 4,519 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 179,7 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−10,28) = 179,7 kPa

Ответ

p₂ = 179,7 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 212 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/40)² = 7,91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 7,91²)/1000 = −28,75 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−28,75) − 39,24 = 212 kPa

Ответ

p₂ = 212 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 13,05 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,25)·1,6²/(2·9,81) = 13,05 m

Ответ

h_f = 13,05 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 105,8 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

16 = (15 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·16/27,7) = 3,366 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,366·0,03142 = 0,1058 m³/s = 105,8 L/s

Ответ

Q = 105,8 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 80,08 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·24 = 35,32 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 35,32/44,1 = 80,08%

Ответ

η = 80,08%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 54,03 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 6)·0,3305 = 6,445 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 30,58 + 6,445 = 54,03 m

Ответ

H = 54,03 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 2,194 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·1 = 1 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1 = 3 m

R = A/P = 0,3333 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,3333^2/3·0,003^1/2 = 2,194 m/s

Расход

Q = A·V = 1·2,194 = 2,194 m³/s

Ответ

Q = 2,194 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004924 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·2,1)·2,1 = 13,97 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,1·√(1 + 1,5²) = 11,07 m

R = A/P = 1,261 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·52/(13,97·1,167) = 0,07017

S = 0,07017² = 0,004924

Ответ

S = 0,004924

Это понижение на 4,924 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering