Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 18 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 20 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 20 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 5,5 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 5,5 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 28 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 110 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 110 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 31,5 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 4 kgh = 31,5 mR = 7 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 5 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 4,5 mL = 2,5 mμ = 0,25k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 800 kg, движущийся со скоростью 15 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1100 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 800 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1200 kg, едущий на восток со скоростью 24 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1300 kg, едущим на север со скоростью 19 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1200 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,5 kg на пружине с k = 310 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 11 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 3,5 kgk = 310 N/mA = 11 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 180 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 1,7 kgk = 180 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 2 m от него равен 90 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 10 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 90 dBr₁ = 2 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 35 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 25 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 35 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 54,87 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·4,5) = 54,87 m

Ответ

s = 54,87 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,563 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,563 s

Ответ

t = 4,563 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 141,1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 126,1 + 15,03 = 141,1 N

Ответ

F = 141,1 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,4905 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 46,6 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (53,96 − 46,6 − 0)/15 = 0,4905 m/s²

Ответ

a = 0,4905 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 40,16 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 40° = 15,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 40° = 12,86 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·12,86/9,81 = 2,621 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,32·2,621 = 40,16 m

Ответ

x = 40,16 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 34,67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 28·sin 20° = 9,577 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 9,577²/(2·9,81) = 4,674 m

Высота над землёй

H = 30 + 4,674 = 34,67 m

Ответ

H = 34,67 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,99 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·110) = 17,99 m/s

Ответ

v_max = 17,99 m/s (64,77 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 157 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(31,5 − 2·7) = 343,4 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 4·343,4/7 − 39,24 = 157 N

Ответ

N_top = 157 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 6,93 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·5·(0,6428 − 0,2·0,766)) = 6,93 m/s

Ответ

v = 6,93 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 68,93 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(4,5 − 0,25·2,5) = 190,1 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 190,1 → x = √(2·190,1/800) = 0,6893 m = 68,93 cm

Ответ

x = 68,93 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 57,89 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·15/1900 = 6,316 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·800·15² = 90000 J

K_after = ½·1900·6,316² = 37895 J

Потерянная доля

ΔK/K = 52105/90000 = 57,89 %

Ответ

ΔK/K = 57,89 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 40,62 °

Составляющие импульса

p_x = 1200·24 = 28800 kg·m/s

p_y = 1300·19 = 24700 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,8576 → θ = 40,62°

Ответ

θ = 40,62°

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,996 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(310/3,5) = 9,411 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 9,411·√(0,11² − 0,03²) = 0,996 m/s

Ответ

v = 0,996 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 18,53 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,7·9,81/180 = 0,09265 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,1853 m = 18,53 cm

Ответ

x_max = 18,53 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 76,02 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (2/10)² = 0,04

Новый уровень

β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,04) = 76,02 dB

Ответ

β₂ = 76,02 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 5503 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 35000·(343 + 25)/343 = 37551 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 25) = 40503 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 5503 Hz

Ответ

f_b = 5503 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics