Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1900 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1900 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 20 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 25 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 20 mv_0B = 25 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 3 m/s и останавливается через 9,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 3 m/sd = 9,2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 9,5 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 16 m/s, и он должен упасть на расстоянии 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 16 m/sR = 10 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 280 m со скоростью 90 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 280 mv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 3 kg отпускают без начальной скорости на высоте 25,85 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 5,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 3 kgh = 25,85 mR = 5,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 8° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 550 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 550 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,3k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1300 kg, едущий на восток со скоростью 25 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1400 kg, едущим на север со скоростью 23 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1300 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,9 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,9 s и амплитудой 11 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 11 cm в точку со смещением 3,3 cm?

T = 0,9 sA = 11 cmx = 3,3 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Наблюдатель движется со скоростью 20 m/s от неподвижного источника частотой 600 Hz. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 8 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 20 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 8 cmR = 20 cm

m =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 115,3 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1900) = 115,3 m/s

Ответ

v = 115,3 m/s

(415,2 km/h)

2.Кинематика

Ответ: y = 16,86 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

20 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 20/25 = 0,8 s

Высота встречи

y = 25·0,8 − ½·9,81·0,8² = 16,86 m

Ответ

y = 16,86 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,04986

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·9,2) = 0,4891 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,4891/9,81 = 0,04986

Ответ

μ = 0,04986

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,763 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 5,033 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,766 N

Ускорение системы

a = (93,2 − 5,033 − 2,766)/11 = 7,763 m/s²

Ответ

a = 7,763 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 11,27 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·10/16² = 0,3832

Угол

2θ = 22,53° → θ = 11,27°

Ответ

θ = 11,27°

Второе решение: 90° − θ = 78,73°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,268 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 60° = 6 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 60° = 10,39 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 10,39·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,39 + √(108 + 882,9))/9,81 = 4,268 s

Ответ

t = 4,268 s

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 12,82 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 90/3,6 = 25 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(280·9,81) = 0,2275

θ = 12,82°

Ответ

θ = 12,82°

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 306,1 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·25,85 = 507,2 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 3·507,2/5,5 + 29,43 = 306,1 N

Ответ

N_bottom = 306,1 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 38,31 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 550 = 1915 N

Мощность

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1915·20 = 38306 W = 38,31 kW

Ответ

P = 38,31 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 8,046 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(4,5 − 0,3·4) = 64,75 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,3) = 8,046 m/s

Ответ

v = 8,046 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 3 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 1,5)/(2,5 + 1,5)·12 = 3 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 1,5)·12 = 15 m/s

Ответ

v′₁ = 3 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 16,94 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 1300·25 = 32500 kg·m/s

p_y = 1400·23 = 32200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 45750/2700 = 16,94 m/s

Ответ

v′ = 16,94 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,416 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Ответ

T = 3,416 s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1814 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/0,9 = 6,981 rad/s

Выразите время

0,3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,3) = 1,266 rad

t = 1,266/6,981 = 0,1814 s

Ответ

t = 0,1814 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 565 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 565 Hz

Ответ

f′ = 565 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 5

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 10 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

Увеличение

m = −(−40)/8 = 5

Ответ

m = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics