Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 1,1 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 25 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 13 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 25 mv_0B = 13 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 22 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 22 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 22 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 270 m имеет вираж с уклоном 10°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 270 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 200 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 200 mθ = 20°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 9 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,3d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 3,5 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 11 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 1,5 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,55 kg ударяется о стену со скоростью 24 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 13 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,55 kgv_in = 24 m/sv_out = 13 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,7 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,9 kg на пружине с k = 310 N/m оттягивают на 9 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 1,9 kgk = 310 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 1000 Hz движется со скоростью 34 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 40 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 20 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 24,17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·1,1 = 13,75 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·7,5) = 10,42 m

Итого

d = 13,75 + 10,42 = 24,17 m

Ответ

d = 24,17 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,923 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 13·t − ½g·t² → t = 25/13 = 1,923 s

Ответ

t = 1,923 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,618 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0,25·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2048) = 3,618 m/s²

Ответ

a = 3,618 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 32,61 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 15,94)/11 = 2,564 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·2,564 + 15,94 = 32,61 N

Ответ

T = 32,61 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,534 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20,67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7,524 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·7,524/9,81 = 1,534 s

Ответ

t = 1,534 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 15,19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 22·sin 40° = 14,14 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 14,14²/(2·9,81) = 10,19 m

Высота над землёй

H = 5 + 10,19 = 15,19 m

Ответ

H = 15,19 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 21,61 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(270·9,81·tan 10°) = 21,61 m/s

Ответ

v = 21,61 m/s

(77,8 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 10,64 m/s

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(200·9,81·0,06011/1,042) = 10,64 m/s

Ответ

v_min = 10,64 m/s

(38,29 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,608 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·9·(0,5736 − 0,3·0,8192)) = 7,608 m/s

Ответ

v = 7,608 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,425 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(3,5 − 2) = 29,43 m²/s²

v = 5,425 m/s

Ответ

v = 5,425 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 276,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1,5)·1,469/0,008 = 276,9 m/s

Ответ

v = 276,9 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 20,35 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,55·(13 + 24) = 20,35 N·s

Ответ

J = 20,35 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,811 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m

Ответ

L = 1,811 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,15 m/s

Угловая частота

ω = √(310/1,9) = 12,77 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,09·12,77 = 1,15 m/s

Ответ

v_max = 1,15 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 909,8 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 0)/(343 + 34)

f′ = 909,8 Hz

Ответ

f′ = 909,8 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 4954 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 4954 Hz

Ответ

f_b = 4954 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics