Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,5 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 19 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 6 kg и 5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 8,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9 kgm₂ = 8,5 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,1 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,1 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,2 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,2 kgr = 1 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 2 kg висит на лёгкой нити длиной 0,8 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 40° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 2 kgL = 0,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 10 kgh = 3,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 10 kg, движущийся горизонтально со скоростью 27 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 50 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 10 kgu = 27 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 50 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 3 kgL = 1,3 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,7 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,3 kg на пружине с k = 270 N/m оттягивают на 2 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,3 kgk = 270 N/mA = 2 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 400 Hz движется со скоростью 25 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 550 nm падает на две щели на расстоянии 0,2 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1 m. Найдите расстояние y₃ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 3.

λ = 550 nmd = 0,2 mmL = 1 mm = 3

y₃ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 20,45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,5 = 6,25 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·5,5) = 14,2 m

Итого

d = 6,25 + 14,2 = 20,45 m

Ответ

d = 20,45 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 43,4 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 18,4 = 43,4 m

Ответ

h_max = 43,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 53,51 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (6 − 5)·9,81/(6 + 5) = 0,8918 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 5·(9,81 + 0,8918) = 53,51 N

Ответ

T = 53,51 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 76,26 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 83,39 N

m₁·g·sin θ = 50,64 N

μ·m₁·g·cos θ = 18,08 N

Ускорение системы

a = (83,39 − 50,64 − 18,08)/17,5 = 0,8379 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 8,5·(9,81 − 0,8379) = 76,26 N

Ответ

T = 76,26 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,435 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21,75 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·21,75/9,81 = 4,435 s

Ответ

t = 4,435 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 79,24 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 30° = 22,52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 30° = 13 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 13·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13 + √(169 + 294,3))/9,81 = 3,519 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 22,52·3,519 = 79,24 m

Ответ

x = 79,24 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,416 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,1)) = 2,416 rad/s

Ответ

ω = 2,416 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 109 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,2·9,81 + 1,2·9²/1 = 11,77 + 97,2 = 109 N

Ответ

T = 109 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 28,8 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 40°) = 3,672 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·3,672/0,8 = 28,8 N

Ответ

T = 28,8 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 28,8 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,861 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(3,5 − 0,1·3,5) = 309 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,15) = 7,861 m/s

Ответ

v = 7,861 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −180 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 10·27 = 270 kg·m/s

Импульс после удара

270 = 9·50 + 1·v′₂

v′₂ = (270 − 450)/1 = −180 m/s

Ответ

v′₂ = −180 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 466,3 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 20°) = 0,0784 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,0784) = 1,24 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,008·1,24/0,008 = 466,3 m/s

Ответ

v = 466,3 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,811 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,7/2π)² = 1,811 m

Ответ

L = 1,811 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,054 J

Угловая частота

ω = √(270/2,3) = 10,83 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·270·0,02² = 0,054 J

Ответ

E = 0,054 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 372,8 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 25)

f′ = 372,8 Hz

Ответ

f′ = 372,8 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₃ = 8,25 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1/(0,2 × 10⁻³) = 2,75 mm

Полоса номер 3

y₃ = 3·2,75 = 8,25 mm

Ответ

y₃ = 8,25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics