Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 100 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 100 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 4 m/s и останавливается через 2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 4 m/sd = 2 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7 kgm₂ = 6 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 75° к горизонту, и он падает на расстоянии 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 75°R = 15 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 10 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 10 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,7 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,7 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 130 m имеет вираж с уклоном 10°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 130 mθ = 10°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 15 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,15d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 20 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 15° и тянется вверх по ней постоянной силой 160 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 4 m вверх по плоскости.

m = 20 kgF = 160 Nθ = 15°μ = 0,15d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 19 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 2,5 kgh = 19 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1300 kg, едущий на восток со скоростью 11 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 23 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1300 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,1 m имеет период малых колебаний 3,42 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,1 mT = 3,42 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,5 kg на пружине с k = 360 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 2,5 kgk = 360 N/mA = 19 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый источник посылает звук одинаково во все стороны. Уровень на расстоянии 2 m от него равен 100 dB. Найдите уровень β₂ на расстоянии 10 m, пренебрегая поглощением и отражениями.

β₁ = 100 dBr₁ = 2 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 600 nm проходит через одиночную щель шириной 0,05 mm. Найдите угол θ₃ тёмной полосы номер 3 относительно направления прямого прохождения.

λ = 600 nma = 0,05 mmm = 3

θ₃ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 9,259 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/3 = 9,259 s

Ответ

t = 9,259 s

2.Кинематика

Ответ: t = 5,236 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·35))/9,81 = 5,236 s

Ответ

t = 5,236 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,4077

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·2) = 4 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4/9,81 = 0,4077

Ответ

μ = 0,4077

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 50,29 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 34,33 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,947 N

Ускорение системы

a = (58,86 − 34,33 − 5,947)/13 = 1,429 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9,81 − 1,429) = 50,29 N

Ответ

T = 50,29 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 17,16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·15/sin 150°) = 17,16 m/s

Ответ

v₀ = 17,16 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 37,11 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 10·sin 40° = 6,428 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 6,428²/(2·9,81) = 2,106 m

Высота над землёй

H = 35 + 2,106 = 37,11 m

Ответ

H = 37,11 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,131 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,7)) = 2,131 rad/s

Ответ

ω = 2,131 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 18,94 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(130·9,81·0,2721/0,9674) = 18,94 m/s

Ответ

v_max = 18,94 m/s

(68,18 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 38,23 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,15·16,99 = 2,549 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,549·15 = 38,23 J

Ответ

W_f = 38,23 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,685 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 50,78 N

μ·mg·cos θ = 28,43 N

Работа и энергия

½mv² = (160 − 79,21)·4 = 323,2 J

v = √(2·323,2/20) = 5,685 m/s

Ответ

v = 5,685 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 404,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,19) = 1,931 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2,5)·1,931/0,012 = 404,2 m/s

Ответ

v = 404,2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 11,78 m/s

Составляющие импульса

p_x = 1300·11 = 14300 kg·m/s

p_y = 1000·23 = 23000 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 27083/2300 = 11,78 m/s

Ответ

v′ = 11,78 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,713 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,1/3,42² = 3,713 m/s²

Ответ

g = 3,713 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 27,36 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(360/2,5) = 12 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,19·12² = 27,36 m/s²

Ответ

a_max = 27,36 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β₂ = 86,02 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Отношение интенсивностей

I₂/I₁ = (2/10)² = 0,04

Новый уровень

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0,04) = 86,02 dB

Ответ

β₂ = 86,02 dB

Каждое удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₃ = 2,063 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Условие тёмной полосы

sin θ = mλ/a = 0,036

θ = 2,063°

Ответ

θ₃ = 2,063°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics