Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,2 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 45 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 45 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 18 m/s под углом 30° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 18 m/sθ = 30°x = 20 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,8 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 30° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,3 kg на нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,3 kgr = 0,7 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 1 kg скользит 11 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 1 kgθ = 20°μ = 0,15d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 22 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 3 kgh = 22 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,7 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 5 kgL = 0,7 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 290 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 15 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

m = 3,2 kgk = 290 N/mA = 15 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,7 s и амплитудой 8 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 3,2 cm?

T = 0,7 sA = 8 cmx = 3,2 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Малый громкоговоритель излучает звуковую мощность 0,02 W одинаково во все стороны. Найдите уровень интенсивности звука β на расстоянии 1 m.

P = 0,02 Wr = 1 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 10 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 40 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 10 cmR = 40 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 7,692 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6,5) = 7,692 m

Ответ

s = 7,692 m

2.Кинематика

Ответ: d = 46,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1098))/(2·4,905) = 3,066 s

Глубина

d = ½·9,81·3,066² = 46,1 m

Ответ

d = 46,1 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 254,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 151 + 103,7 = 254,7 N

Ответ

F = 254,7 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 9,109 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 2,943)/3,5 = 6,166 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·6,166 + 2,943 = 9,109 N

Ответ

T = 9,109 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 3,473 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 18·cos 30° = 15,59 m/s

t = x/v_x = 20/15,59 = 1,283 s

Высота в этот момент

y = 9·1,283 − ½·9,81·1,283² = 3,473 m

Ответ

y = 3,473 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,967 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27,71 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 27,71·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,71 + √(768 + 882,9))/9,81 = 6,967 s

Ответ

t = 6,967 s

7.Движение по окружности

Ответ: T = 2,505 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,8·sin 30° = 0,9 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9·9,81·tan 30°) = 2,258 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,9/2,258 = 2,505 s

Ответ

T = 2,505 s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 11,62 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·4,5²/0,7 = 2,943 + 8,679 = 11,62 N

Ответ

T = 11,62 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 15,21 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 9,81·0,9397 = 9,218 N

F = μN = 0,15·9,218 = 1,383 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,383·11 = 15,21 J

Ответ

W_f = 15,21 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 29,63 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,15·3,5) = 109,7 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 109,7 → x = √(2·109,7/2500) = 0,2963 m = 29,63 cm

Ответ

x = 29,63 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1249 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,22) = 2,078 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3)·2,078/0,005 = 1249 m/s

Ответ

v = 1249 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 911 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 20°) = 0,04222 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,04222) = 0,9101 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 5,005·0,9101/0,005 = 911 m/s

Ответ

v = 911 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,415 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(290/3,2) = 9,52 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 9,52·√(0,15² − 0,02²) = 1,415 m/s

Ответ

v = 1,415 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,04585 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/0,7 = 8,976 rad/s

Выразите время

0,4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,4) = 0,4115 rad

t = 0,4115/8,976 = 0,04585 s

Ответ

t = 0,04585 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 92,02 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Интенсивность

I = P/(4πr²) = 0,001592 W/m²

Уровень

β = 10·log₁₀(0,001592/10⁻¹²) = 92,02 dB

Ответ

β = 92,02 dB

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −6,667 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −20 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/10

d_i = −6,667 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −6,667 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics