Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 72 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 8 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 72 km/ht_r = 1 sa = −8 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 15 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 3,2 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 3,2 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 20 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 4 kgh = 3,5 mL = 3 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 11 kg, движущийся горизонтально со скоростью 38 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 8 kg продолжает движение вперёд со скоростью 76 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 3 kg (положительна в исходном направлении).

M = 11 kgu = 38 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 76 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,8 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 10° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 4 kgL = 0,8 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 380 N/m оттягивают на 9 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 9 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 4 cm находится в 30 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 4 cmd_o = 30 cmf = −12 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 550 nm проходит через одиночную щель шириной 0,2 mm. Найдите угол θ₂ тёмной полосы номер 2 относительно направления прямого прохождения.

λ = 550 nma = 0,2 mmm = 2

θ₂ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 20·1 = 20 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

Итого

d = 20 + 25 = 45 m

Ответ

d = 45 m

2.Кинематика

Ответ: t = 3,621 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,621 s

Ответ

t = 3,621 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,368 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 25° − 0,2·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1813) = 2,368 m/s²

Ответ

a = 2,368 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,924 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 3,924)/4 = 3,924 m/s²

Ответ

a = 3,924 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 90,27 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 65° = 14,37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 65° = 30,81 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·30,81/9,81 = 6,282 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14,37·6,282 = 90,27 m

Ответ

x = 90,27 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,742 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 45° = 10,61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 45° = 10,61 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 10,61·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,61 + √(112,5 + 1177))/9,81 = 4,742 s

Ответ

t = 4,742 s

7.Движение по окружности

Ответ: n = 23,65 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·3,2)) = 2,476 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 23,65 rpm

Ответ

n = 23,65 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 2,215 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

Ответ

v_min = 2,215 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 135,9 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,2·33,98 = 6,797 N

Работа против трения

W_f = F·d = 6,797·20 = 135,9 J

Ответ

W_f = 135,9 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 31,69 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(3,5 − 0,1·3) = 125,6 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 125,6 → x = √(2·125,6/2500) = 0,3169 m = 31,69 cm

Ответ

x = 31,69 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −63,33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 11·38 = 418 kg·m/s

Импульс после удара

418 = 8·76 + 3·v′₂

v′₂ = (418 − 608)/3 = −63,33 m/s

Ответ

v′₂ = −63,33 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 195,8 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 10°) = 0,01215 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,01215) = 0,4883 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,01·0,4883/0,01 = 195,8 m/s

Ответ

v = 195,8 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,2485 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1/2π)² = 0,2485 m

Ответ

L = 0,2485 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,539 J

Угловая частота

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·380·0,09² = 1,539 J

Ответ

E = 1,539 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 1,143 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/30

d_i = −8,571 cm

Увеличение и высота

m = −(−8,571)/30 = 0,2857

h_i = 0,2857·4 = 1,143 cm

Ответ

h_i = 1,143 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₂ = 0,3151 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Условие тёмной полосы

sin θ = mλ/a = 0,0055

θ = 0,3151°

Ответ

θ₂ = 0,3151°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics