Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 20 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 20 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 12 s, затем движется с постоянной скоростью 19 s и, наконец, тормозит с замедлением 3,5 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 19 sa₃ = −3,5 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 24 m/s под углом 20° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 24 m/sθ = 20°x = 30 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 20 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 20 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,8 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,8 kgr = 1,4 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1200 kg въезжает на подъём 5° с постоянной скоростью 90 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 550 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1200 kgθ = 5°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 15 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 155 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 3 m вверх по плоскости.

m = 15 kgF = 155 Nθ = 35°μ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1,5 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 15 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 310 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,6 kgk = 310 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 40 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 40 cmf = 8 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 300 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 633 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 300 mm⁻¹λ = 633 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 160 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·20/5 = 8 s

Путь

d = v·t = 20·8 = 160 m

Ответ

d = 160 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 40 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 39,57 s

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·12 = 30 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 30/3,5 = 8,571 s

Общее время

t = 12 + 19 + 8,571 = 39,57 s

Ответ

t = 39,57 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,179 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

Ответ

a = 5,179 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,523 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 17,66)/10,5 = 2,523 m/s²

Ответ

a = 2,523 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 2,24 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 24·cos 20° = 22,55 m/s

t = x/v_x = 30/22,55 = 1,33 s

Высота в этот момент

y = 8,208·1,33 − ½·9,81·1,33² = 2,24 m

Ответ

y = 2,24 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,781 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 20,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,57 + √(423,1 + 882,9))/9,81 = 5,781 s

Ответ

t = 5,781 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 8,859 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·20) = 8,859 m/s

Ответ

v_max = 8,859 m/s (31,89 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 63,94 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·6²/1,4 = 17,66 + 46,29 = 63,94 N

Ответ

T = 63,94 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 39,4 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 5° = 1026 N

F = 1026 + 550 = 1576 N

Мощность

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1576·25 = 39400 W = 39,4 kW

Ответ

P = 39,4 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,839 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 84,4 N

μ·mg·cos θ = 12,05 N

Работа и энергия

½mv² = (155 − 96,46)·3 = 175,6 J

v = √(2·175,6/15) = 4,839 m/s

Ответ

v = 4,839 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 3 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1,5 − 4,5)/(1,5 + 4,5)·6 = −3 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 4,5)·6 = 3 m/s

Ответ

v′₂ = 3 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 16 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(17 + 15) = 16 N·s

Ответ

J = 16 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,457 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Ответ

T = 2,457 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 2,5 m/s

Угловая частота

ω = √(310/0,6) = 22,73 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,11·22,73 = 2,5 m/s

Ответ

v_max = 2,5 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,25

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/40

d_i = 10 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −10/40 = −0,25

Ответ

m = −0,25

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 5

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/300 mm = 3,333 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 3,333 µm/0,633 µm = 5,266 → m_max = 5

Ответ

m_max = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics