Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 80 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,8 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 2,8 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 13 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 13 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 20 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 9 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 20 m/sθ = 25°x = 9 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 29 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 29 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 125 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 125 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 7 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,1d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 30° и тянется вверх по ней постоянной силой 95 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 8 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 95 Nθ = 30°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 4 kg, движущийся горизонтально со скоростью 17 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 31 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 4 kgu = 17 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 31 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 2000 kg, едущий на восток со скоростью 8 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 16 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 2000 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 90 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 17 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

k = 90 N/mA = 17 cmx = 6 cm

U = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 12 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 20 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 12 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает на две щели на расстоянии 0,1 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 2 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 450 nmd = 0,1 mmL = 2 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,419 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/6,5 = 3,419 s

Ответ

t = 3,419 s

2.Кинематика

Ответ: d = 35,65 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(2,8 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 960,4 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·960,4))/(2·4,905) = 2,696 s

Глубина

d = ½·9,81·2,696² = 35,65 m

Ответ

d = 35,65 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,886 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 1,962)/5,5 = 5,886 m/s²

Ответ

a = 5,886 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 2,988 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 20·cos 25° = 18,13 m/s

t = x/v_x = 9/18,13 = 0,4965 s

Высота в этот момент

y = 8,452·0,4965 − ½·9,81·0,4965² = 2,988 m

Ответ

y = 2,988 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 64,1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 29·sin 35° = 16,63 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 16,63²/(2·9,81) = 14,1 m

Высота над землёй

H = 50 + 14,1 = 64,1 m

Ответ

H = 64,1 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 22,15 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·125) = 22,15 m/s

Ответ

v_max = 22,15 m/s (79,73 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 2,971 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Ответ

v_min = 2,971 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,818 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·7·(0,6428 − 0,1·0,766)) = 8,818 m/s

Ответ

v = 8,818 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 6,807 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 49,05 N

μ·mg·cos θ = 16,99 N

Работа и энергия

½mv² = (95 − 66,04)·8 = 231,7 J

v = √(2·231,7/10) = 6,807 m/s

Ответ

v = 6,807 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −25 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 4·17 = 68 kg·m/s

Импульс после удара

68 = 3·31 + 1·v′₂

v′₂ = (68 − 93)/1 = −25 m/s

Ответ

v′₂ = −25 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 45 °

Составляющие импульса

p_x = 2000·8 = 16000 kg·m/s

p_y = 1000·16 = 16000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1 → θ = 45°

Ответ

θ = 45°

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,235 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,6/9,81) = 3,235 s

Ответ

T = 3,235 s

14.Пружины и маятники

Ответ: U = 0,162 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·90·0,17² = 1,301 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·90·0,06² = 0,162 J

Ответ

U = 0,162 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −30 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/12

d_i = −30 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

d_i = −30 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 9 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2/(0,1 × 10⁻³) = 9 mm

Ответ

Δy = 9 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics