Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 54 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,6 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 54 km/ht_r = 0,6 sa = −6 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 10 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 5,5 kg и 3 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 3 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 36 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 23 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 23 m/sθ = 35°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 320 m имеет вираж с уклоном 12°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 320 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,7 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,7 kgr = 0,6 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 19 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,2d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 2 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 17 kg, движущийся горизонтально со скоростью 5 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 7 kg продолжает движение вперёд со скоростью 42 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 10 kg (положительна в исходном направлении).

M = 17 kgu = 5 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 42 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1000 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 2000 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 20,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1000 kgm₂ = 2000 kgd = 20,5 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 10 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 1 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1700 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 10 gv = 500 m/sM = 1 kgk = 1700 N/m

A = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «вода» (n = 1,33) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,33n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 25 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 15 cm и линза 2 с f₂ = −10 cm. Предмет находится в 25 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 15 cmf₂ = −10 cms = 25 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 27,75 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 15·0,6 = 9 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6) = 18,75 m

Итого

d = 9 + 18,75 = 27,75 m

Ответ

d = 27,75 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 35,1 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9,81) = 5,097 m

Высота над землёй

h_max = 30 + 5,097 = 35,1 m

Ответ

h_max = 35,1 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,885 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (5,5 − 3)·9,81/(5,5 + 3) = 2,885 m/s²

Ответ

a = 2,885 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,193 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 5,886)/8,5 = 2,193 m/s²

Ответ

a = 2,193 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,718 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 40° = 27,58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 40° = 23,14 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·23,14/9,81 = 4,718 s

Ответ

t = 4,718 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 18,87 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 23·sin 35° = 13,19 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,19²/(2·9,81) = 8,87 m

Высота над землёй

H = 10 + 8,87 = 18,87 m

Ответ

H = 18,87 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 25,83 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(320·9,81·tan 12°) = 25,83 m/s

Ответ

v = 25,83 m/s

(92,99 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 17,37 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,7·9,81 + 0,7·3²/0,6 = 6,867 + 10,5 = 17,37 N

Ответ

T = 17,37 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 64,57 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,2·16,99 = 3,398 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,398·19 = 64,57 J

Ответ

W_f = 64,57 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,431 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 19,62·3 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,2·39,24·3 = 23,54 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 35,32 → v = √(2·35,32/6) = 3,431 m/s

Ответ

v = 3,431 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −20,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 17·5 = 85 kg·m/s

Импульс после удара

85 = 7·42 + 10·v′₂

v′₂ = (85 − 294)/10 = −20,9 m/s

Ответ

v′₂ = −20,9 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 52,1 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·20,5) = 17,37 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·17,37/1000 = 52,1 m/s

Ответ

v₁ = 52,1 m/s

(187,6 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 0,8971 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Ответ

T = 0,8971 s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 12,07 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,01·500/1,01 = 4,95 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/1,01) = 41,03 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 4,95/41,03 = 0,1207 m = 12,07 cm

Ответ

A = 12,07 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 48,75 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,33 = 0,7519

Критический угол

θc = arcsin(0,7519) = 48,75°

Ответ

θ_c = 48,75°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −50 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/25 → d_i1 = 37,5 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 25 − 37,5 = −12,5 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/(−12,5) → d_i2 = −50 cm

Ответ

d_i2 = −50 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics