Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 300 km/h, а длина полосы 900 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 10 kg и 6 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 6,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 6,5 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 38 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,8 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,8 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,8 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,8 kgr = 1,5 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 7 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,2d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 6 kgμ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 18 kg, движущийся горизонтально со скоростью 11 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 17 kg продолжает движение вперёд со скоростью 32 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 1 kg (положительна в исходном направлении).

M = 18 kgu = 11 m/sm₁ = 17 kgv′₁ = 32 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1300 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1400 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 8,5 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1400 kgd = 8,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,3 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,1 kg на пружине с k = 270 N/m оттягивают на 7 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,1 kgk = 270 N/mA = 7 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «алмаз» (n = 2,42) к плоской границе со средой «глицерин» (n = 1,47). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 2,42n₂ = 1,47

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 30 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 10 cm и линза 2 с f₂ = 20 cm. Предмет находится в 30 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 10 cmf₂ = 20 cms = 30 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 3,858 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·900) = 3,858 m/s²

Ответ

a = 3,858 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 3,9 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−20 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 20 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,9 s

Ответ

t = 3,9 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,453 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (10 − 6)·9,81/(10 + 6) = 2,453 m/s²

Ответ

a = 2,453 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,339 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 63,77 N

m₁·g·sin θ = 29,43 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,097 N

Ускорение системы

a = (63,77 − 29,43 − 5,097)/12,5 = 2,339 m/s²

Ответ

a = 2,339 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 112,8 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 65° = 16,06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 65° = 34,44 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·34,44/9,81 = 7,021 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 16,06·7,021 = 112,8 m

Ответ

x = 112,8 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,675 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 40 + 20,78·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,78 + √(432 + 784,8))/9,81 = 5,675 s

Ответ

t = 5,675 s

7.Движение по окружности

Ответ: n = 28,26 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,8)) = 2,96 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 28,26 rpm

Ответ

n = 28,26 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T = 85,16 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,8·9,81 + 1,8·7,5²/1,5 = 17,66 + 67,5 = 85,16 N

Ответ

T = 85,16 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 97,11 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,2·69,37 = 13,87 N

Работа против трения

W_f = F·d = 13,87·7 = 97,11 J

Ответ

W_f = 97,11 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,132 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 58,86·2 = 117,7 J

μ·m₁g·d = 0,2·98,1·2 = 39,24 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 78,48 → v = √(2·78,48/16) = 3,132 m/s

Ответ

v = 3,132 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −346 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 18·11 = 198 kg·m/s

Импульс после удара

198 = 17·32 + 1·v′₂

v′₂ = (198 − 544)/1 = −346 m/s

Ответ

v′₂ = −346 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 20,78 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·8,5) = 10 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·10/1300 = 20,78 m/s

Ответ

v₁ = 20,78 m/s

(74,79 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,315 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,3/2π)² = 1,315 m

Ответ

L = 1,315 m

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,6615 J

Угловая частота

ω = √(270/3,1) = 9,333 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·270·0,07² = 0,6615 J

Ответ

E = 0,6615 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 37,4 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,47/2,42 = 0,6074

Критический угол

θc = arcsin(0,6074) = 37,4°

Ответ

θ_c = 37,4°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −60 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/30 → d_i1 = 15 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 30 − 15 = 15 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/20 − 1/15 → d_i2 = −60 cm

Ответ

d_i2 = −60 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics