Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 50 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 25 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полное время движения t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 25 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 30° к горизонту с силой 160 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 160 Nθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 10 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 45 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 45 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,4 kgr = 1,3 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 1000 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 3 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 1000 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 1,5 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 16 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 16 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,7 s и амплитудой 18 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 18 cm в точку со смещением 9 cm?

T = 3,7 sA = 18 cmx = 9 cm

t = s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 1,2 m; волны бегут по ней со скоростью 200 m/s. Найдите частоту f₂ для режима: гармоника номер 2.

v = 200 m/sn = 2L = 1,2 m

f₂ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 589 nm падает на две щели на расстоянии 0,4 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 3 m. Найдите расстояние y₄ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 4.

λ = 589 nmd = 0,4 mmL = 3 mm = 4

y₄ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,968 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/3,5 = 3,968 s

Ответ

t = 3,968 s

2.Кинематика

Ответ: t = 40 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

Время торможения

t₃ = v/a₃ = 18/3 = 6 s

Общее время

t = 9 + 25 + 6 = 40 s

Ответ

t = 40 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,207 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 160·sin 30° = 263,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 138,6 − 26,34

a = 112,2/35 = 3,207 m/s²

Ответ

a = 3,207 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 32,95 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 9,32)/14 = 2,488 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·2,488 + 9,32 = 32,95 N

Ответ

T = 32,95 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 25,3 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7,607 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·7,607/9,81 = 1,551 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 16,31·1,551 = 25,3 m

Ответ

x = 25,3 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 17,54 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 30° = 8,66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 30° = 5 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 10 + 5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5 + √(25 + 196,2))/9,81 = 2,026 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,66·2,026 = 17,54 m

Ответ

x = 17,54 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 14,86 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·45) = 14,86 m/s

Ответ

v_max = 14,86 m/s (53,48 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 21,23 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·7,5²/1,3 = 3,924 + 17,31 = 21,23 N

Ответ

T = 21,23 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,4587 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·1000·0,03² = 0,45 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,45/0,981 = 0,4587 m

Ответ

h = 0,4587 m

10.Работа и энергия

Ответ: x = 4,498 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(1,5 − 0,15·4,5) = 4,047 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 4,047 → x = √(2·4,047/4000) = 0,04498 m = 4,498 cm

Ответ

x = 4,498 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 1,333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 2)/(1 + 2)·2 = −0,6667 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 2)·2 = 1,333 m/s

Ответ

v′₂ = 1,333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 775 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(15 + 16) = 15,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 15,5/0,02 = 775 N

Ответ

F_avg = 775 N

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,198 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Ответ

T = 2,198 s

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,6167 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,7 = 1,698 rad/s

Выразите время

0,5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,5) = 1,047 rad

t = 1,047/1,698 = 0,6167 s

Ответ

t = 0,6167 s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₂ = 166,7 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·1,2/2 = 1,2 m

Частота

f = v/λ = 200/1,2 = 166,7 Hz

Ответ

f₂ = 166,7 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₄ = 17,67 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·3/(0,4 × 10⁻³) = 4,417 mm

Полоса номер 4

y₄ = 4·4,417 = 17,67 mm

Ответ

y₄ = 17,67 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics