Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1300 m.

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1300 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 15 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 18 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 15 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 20 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 10 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 4 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 4 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,3 kg на нити длиной 1,3 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,3 kgr = 1,3 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg въезжает на подъём 5° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 250 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 2000 kgθ = 5°F_r = 250 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 11,2 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 4 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 11,2 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 15 kg, движущийся горизонтально со скоростью 33 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 9 kg продолжает движение вперёд со скоростью 47 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 15 kgu = 33 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 47 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 20 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 20 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 70 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 8 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

m = 1,5 kgk = 70 N/mA = 8 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,2 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 110 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 0,2 kgk = 110 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «крон» (n = 1,50) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,50n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 550 nm падает на две щели на расстоянии 0,15 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 2 m. Найдите расстояние y₃ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 3.

λ = 550 nmd = 0,15 mmL = 2 mm = 3

y₃ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 88,32 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3·1300) = 88,32 m/s

Ответ

v = 88,32 m/s

(317,9 km/h)

2.Кинематика

Ответ: t = 0,8333 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 15/18 = 0,8333 s

Ответ

t = 0,8333 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 115,1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 98,1 + 16,99 = 115,1 N

Ответ

F = 115,1 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,121 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 7,357)/5,5 = 3,121 m/s²

Ответ

a = 3,121 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 1,784 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 5,917²/(2·9,81) = 1,784 m

Ответ

H = 1,784 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,836 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 60° = 12,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 60° = 21,65 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 10 + 21,65·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,65 + √(468,8 + 196,2))/9,81 = 4,836 s

Ответ

t = 4,836 s

7.Движение по окружности

Ответ: n = 21,15 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·4)) = 2,215 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 21,15 rpm

Ответ

n = 21,15 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T = 21,64 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·9²/1,3 = 2,943 + 18,69 = 21,64 N

Ответ

T = 21,64 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 29,4 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 5° = 1710 N

F = 1710 + 250 = 1960 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1960·15 = 29400 W = 29,4 kW

Ответ

P = 29,4 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,924 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(11,2 − 8) = 62,78 m²/s²

v = 7,924 m/s

Ответ

v = 7,924 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 12 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 15·33 = 495 kg·m/s

Импульс после удара

495 = 9·47 + 6·v′₂

v′₂ = (495 − 423)/6 = 12 m/s

Ответ

v′₂ = 12 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 875 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(15 + 20) = 8,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 8,75/0,01 = 875 N

Ответ

F_avg = 875 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,5292 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(70/1,5) = 6,831 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 6,831·√(0,08² − 0,02²) = 0,5292 m/s

Ответ

v = 0,5292 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,4183 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 0,2·9,81/110 = 0,01784 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(110/0,2) = 23,45 rad/s

v_max = A·ω = 0,01784·23,45 = 0,4183 m/s

Ответ

v_max = 0,4183 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 41,81 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,50 = 0,6667

Критический угол

θc = arcsin(0,6667) = 41,81°

Ответ

θ_c = 41,81°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₃ = 22 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2/(0,15 × 10⁻³) = 7,333 mm

Полоса номер 3

y₃ = 3·7,333 = 22 mm

Ответ

y₃ = 22 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics