Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 36 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,3 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 36 km/ht_r = 1,3 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 50 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 29 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y над землёй они встретятся?

H = 50 mv_0B = 29 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 20 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 180 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 20 kgF = 180 Nθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 4 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 40 m/s под углом 30° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 14 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 40 m/sθ = 30°h_roof = 14 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,2 kg висит на лёгкой нити длиной 0,8 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 30° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,2 kgL = 0,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 30° и тянется вверх по ней постоянной силой 120 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 9 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 120 Nθ = 30°μ = 0,3d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1200 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1300 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 25 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1300 kgd = 25 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 350 N/m оттягивают на 16 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,3 kgk = 350 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,8 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₅ для режима: гармоника номер 5.

v = 343 m/sn = 5L = 0,8 m

f₅ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 650 nm проходит через одиночную щель шириной 0,15 mm. Найдите ширину w центрального светлого максимума на экране на расстоянии 1,5 m (между первыми тёмными полосами по обе стороны).

λ = 650 nma = 0,15 mmL = 1,5 m

w = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 19,67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 10·1,3 = 13 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,5) = 6,667 m

Итого

d = 13 + 6,667 = 19,67 m

Ответ

d = 19,67 m

2.Кинематика

Ответ: y = 35,42 m

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

50 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 50/29 = 1,724 s

Высота встречи

y = 29·1,724 − ½·9,81·1,724² = 35,42 m

Ответ

y = 35,42 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,823 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 180·sin 15° = 149,6 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 173,9 − 37,4

a = 136,5/20 = 6,823 m/s²

Ответ

a = 6,823 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,46 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·5,48) = 1,46 m

Ответ

d = 1,46 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,573 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 40° = 9,193 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 40° = 7,713 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·7,713/9,81 = 1,573 s

Ответ

t = 1,573 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 110,2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 34,64 m/s, v_y = 20 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

14 = 20·t − 4,905·t²

t = (20 + √(20² − 2·9,81·14))/9,81 = 3,18 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 34,64·3,18 = 110,2 m

Ответ

x = 110,2 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 18,4 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·115) = 18,4 m/s

Ответ

v_max = 18,4 m/s (66,23 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,132 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1) = 3,132 m/s

Ответ

v_min = 3,132 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: T = 2,488 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 30°) = 2,103 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·2,103/0,8 = 2,488 N

Ответ

T = 2,488 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 2,488 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 9,046 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 49,05 N

μ·mg·cos θ = 25,49 N

Работа и энергия

½mv² = (120 − 74,54)·9 = 409,2 J

v = √(2·409,2/10) = 9,046 m/s

Ответ

v = 9,046 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 2,5 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·5 = 2,5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·5 = 7,5 m/s

Ответ

v′₁ = 2,5 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 35,74 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·25) = 17,16 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·17,16/1200 = 35,74 m/s

Ответ

v₁ = 35,74 m/s

(128,7 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,374 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,4/9,81) = 2,374 s

Ответ

T = 2,374 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,648 m/s

Угловая частота

ω = √(350/3,3) = 10,3 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,16·10,3 = 1,648 m/s

Ответ

v_max = 1,648 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₅ = 535,9 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,8/5 = 0,64 m

Частота

f = v/λ = 343/0,64 = 535,9 Hz

Ответ

f₅ = 535,9 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: w = 13 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Первая тёмная полоса

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·1,5/(0,15 × 10⁻³) = 6,5 mm

Ширина центрального максимума

w = 2y₁ = 13 mm

Ответ

w = 13 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics