Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 24 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 4 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 24 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,7 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 3,5 kg и 3 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 32 m/s под углом 55° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 8 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 32 m/sθ = 55°h_roof = 8 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 150 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 150 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 6 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,6 kgr = 0,9 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 12 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,15d = 12 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 16 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 16 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,8 kg на пружине с k = 250 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 2,8 kgk = 250 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «акрил» (n = 1,49) при любом угле падения больше 24,4°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 24,4°n₂ = 1,49

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 532 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 1,5 m. Найдите расстояние y₂ от центральной светлой полосы до светлой полосы номер 2.

λ = 532 nmd = 0,5 mmL = 1,5 mm = 2

y₂ = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 12 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/4 = 12 s

Ответ

t = 12 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 48 m/s.

2.Кинематика

Ответ: d = 95,85 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1612 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1612))/(2·4,905) = 4,421 s

Глубина

d = ½·9,81·4,421² = 95,85 m

Ответ

d = 95,85 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,7546 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (3,5 − 3)·9,81/(3,5 + 3) = 0,7546 m/s²

Ответ

a = 0,7546 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,962 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 15,7)/12 = 1,962 m/s²

Ответ

a = 1,962 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,956 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 65° = 6,762 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 65° = 14,5 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·14,5/9,81 = 2,956 s

Ответ

t = 2,956 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 92,12 m

Разложите начальную скорость

v_x = 18,35 m/s, v_y = 26,21 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

8 = 26,21·t − 4,905·t²

t = (26,21 + √(26,21² − 2·9,81·8))/9,81 = 5,019 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,35·5,019 = 92,12 m

Ответ

x = 92,12 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 27,12 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·150) = 27,12 m/s

Ответ

v_max = 27,12 m/s (97,65 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 29,89 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·6²/0,9 = 5,886 + 24 = 29,89 N

Ответ

T = 29,89 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 57,86 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,15·32,14 = 4,822 N

Работа против трения

W_f = F·d = 4,822·12 = 57,86 J

Ответ

W_f = 57,86 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 38,36 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2 − 0,2·4) = 58,86 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 58,86 → x = √(2·58,86/800) = 0,3836 m = 38,36 cm

Ответ

x = 38,36 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 4 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·5 = −1 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·5 = 4 m/s

Ответ

v′₂ = 4 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 3,75 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(9 + 16) = 3,75 N·s

Ответ

J = 3,75 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,431 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,4/2π)² = 1,431 m

Ответ

L = 1,431 m

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,039 m/s

Угловая частота

ω = √(250/2,8) = 9,449 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,11·9,449 = 1,039 m/s

Ответ

v_max = 1,039 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 3,607

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,49/0,4131 = 3,607

Ответ

n₁ = 3,607

16.Волны, звук и оптика

Ответ: y₂ = 3,192 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1,5/(0,5 × 10⁻³) = 1,596 mm

Полоса номер 2

y₂ = 2·1,596 = 3,192 mm

Ответ

y₂ = 3,192 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics