Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,4 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 2,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 6 kg и 5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 25° со скоростью 4,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 15° к горизонту, и он падает на расстоянии 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 15°R = 60 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 1,8 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 1,8 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,4 kg на нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,4 kgr = 1 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 15 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,2d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 4,5 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg, движущийся со скоростью 19 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 700 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 2000 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 900 kg, едущий на восток со скоростью 18 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1000 kg, едущим на север со скоростью 13 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 900 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,9 kg на пружине с k = 100 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 3,9 kgk = 100 N/mA = 19 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «этанол» (n = 1,36) к плоской границе со средой «вода» (n = 1,33). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,36n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 500 nm падает под прямым углом на решётку с 300 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 300 mm⁻¹λ = 500 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 66,67 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66,67 m

Ответ

s = 66,67 m

2.Кинематика

Ответ: d = 26,47 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(2,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 823,2 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·823,2))/(2·4,905) = 2,323 s

Глубина

d = ½·9,81·2,323² = 26,47 m

Ответ

d = 26,47 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,8918 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (6 − 5)·9,81/(6 + 5) = 0,8918 m/s²

Ответ

a = 0,8918 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 2,011 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·5,035) = 2,011 m

Ответ

d = 2,011 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 34,31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·60/sin 30°) = 34,31 m/s

Ответ

v₀ = 34,31 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 64,2 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13,77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19,66 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 19,66·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,66 + √(386,5 + 294,3))/9,81 = 4,664 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13,77·4,664 = 64,2 m

Ответ

x = 64,2 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 3,014 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·1,8)) = 3,014 rad/s

Ответ

ω = 3,014 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 36,13 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,4·9,81 + 1,4·4²/1 = 13,73 + 22,4 = 36,13 N

Ответ

T = 36,13 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 12,9 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,7071 − 0,2·0,7071)) = 12,9 m/s

Ответ

v = 12,9 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,004 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,5 − 2) = 49,05 m²/s²

v = 7,004 m/s

Ответ

v = 7,004 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 93593 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·19/2700 = 14,07 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·2000·19² = 361000 J

K_after = ½·2700·14,07² = 267407 J

Потерянная энергия

ΔK = 361000 − 267407 = 93593 J

Ответ

ΔK = 93593 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 38,75 °

Составляющие импульса

p_x = 900·18 = 16200 kg·m/s

p_y = 1000·13 = 13000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,8025 → θ = 38,75°

Ответ

θ = 38,75°

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,487 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Ответ

L = 0,487 m

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 4,872 m/s²

Угловая частота

ω = √(100/3,9) = 5,064 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,19·5,064² = 4,872 m/s²

Ответ

a_max = 4,872 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 77,94 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,36 = 0,9779

Критический угол

θc = arcsin(0,9779) = 77,94°

Ответ

θ_c = 77,94°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 8,627 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·500 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,15

θ = 8,627°

Ответ

θ₁ = 8,627°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics