Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 28 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 28 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 40 kgθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 4,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 5 kgm₂ = 4,5 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 32 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 35 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,5 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 2,5 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,3 kg на нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,3 kgr = 1,1 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 120 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Найдите тормозной путь d.

v = 120 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2,5 kgh = 4 mL = 5 mμ = 0,2k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 9 kg, движущийся горизонтально со скоростью 26 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 5 kg продолжает движение вперёд со скоростью 74 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 4 kg (положительна в исходном направлении).

M = 9 kgu = 26 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 74 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1100 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1400 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 7 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1100 kgm₂ = 1400 kgd = 7 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 2 m имеет период малых колебаний 6,98 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 2 mT = 6,98 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,2 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 300 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 1,2 kgk = 300 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «глицерин» (n = 1,47) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,47n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 450 nm падает на две щели на расстоянии 0,5 mm друг от друга. Экран находится на расстоянии 2 m. Найдите расстояние Δy между соседними светлыми полосами.

λ = 450 nmd = 0,5 mmL = 2 m

Δy = mm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 70,55 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·3,5) = 70,55 m

Ответ

s = 70,55 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 121,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 28·1,5 = 42 m/s

h₁ = ½·28·1,5² = 31,5 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 42²/(2·9,81) = 89,91 m

h_max = 31,5 + 89,91 = 121,4 m

Ответ

h_max = 121,4 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 372,5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 252,2 + 120,2 = 372,5 N

Ответ

F = 372,5 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,537 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 44,15 N

m₁·g·sin θ = 31,53 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,515 N

Ускорение системы

a = (44,15 − 31,53 − 7,515)/9,5 = 0,537 m/s²

Ответ

a = 0,537 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 42,87 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 65° = 13,52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 65° = 29 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 29²/(2·9,81) = 42,87 m

Ответ

H = 42,87 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,555 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 50° = 22,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 50° = 26,81 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 26,81·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (26,81 + √(718,9 + 686,7))/9,81 = 6,555 s

Ответ

t = 6,555 s

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 3,617 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·2,5)) = 3,617 rad/s

Ответ

ω = 3,617 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 6,284 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·3,5²/1,1 = 2,943 + 3,341 = 6,284 N

Ответ

T = 6,284 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 80,9 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33,33²/(2·0,7·9,81) = 80,9 m

Ответ

d = 80,9 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,672 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(4 − 0,2·5) = 73,58 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Ответ

v = 7,672 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −34 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 9·26 = 234 kg·m/s

Импульс после удара

234 = 5·74 + 4·v′₂

v′₂ = (234 − 370)/4 = −34 m/s

Ответ

v′₂ = −34 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 20,63 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·7) = 9,078 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·9,078/1100 = 20,63 m/s

Ответ

v₁ = 20,63 m/s

(74,27 km/h)

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 1,621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/6,98² = 1,621 m/s²

Ответ

g = 1,621 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,6204 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,2·9,81/300 = 0,03924 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(300/1,2) = 15,81 rad/s

v_max = A·ω = 0,03924·15,81 = 0,6204 m/s

Ответ

v_max = 0,6204 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 42,86 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,47 = 0,6803

Критический угол

θc = arcsin(0,6803) = 42,86°

Ответ

θ_c = 42,86°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: Δy = 1,8 mm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между полосами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2/(0,5 × 10⁻³) = 1,8 mm

Ответ

Δy = 1,8 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics