Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 90 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 6 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 40 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 40 kgθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на наклонной плоскости под углом 40° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 9,5 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 20 m/s под углом 70° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 20 m/sθ = 70°x = 5 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 33 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 33 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,8 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 20° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,8 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,1 kg на лёгкой нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,1 kgr = 0,7 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 16 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,1d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1300 kg, движущийся со скоростью 23 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1400 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1300 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,55 kg ударяется о стену со скоростью 24 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,55 kgv_in = 24 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,6 kg на пружине с k = 250 N/m оттягивают на 12 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 1,5 s (со знаком).

m = 1,6 kgk = 250 N/mA = 12 cmt = 1,5 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,8 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 170 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 2,8 kgk = 170 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «этанол» (n = 1,36) при любом угле падения больше 45°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 45°n₂ = 1,36

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 10 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 10 cm и линза 2 с f₂ = 20 cm. Предмет находится в 12 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 10 cmf₂ = 20 cms = 10 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 48,08 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6,5) = 48,08 m

Ответ

s = 48,08 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 26,83 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 1,835 = 26,83 m

Ответ

h_max = 26,83 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 196,3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 101,6 + 94,76 = 196,3 N

Ответ

F = 196,3 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 52,65 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 28,38 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,073 N

Ускорение системы

a = (93,2 − 28,38 − 5,073)/14 = 4,268 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 9,5·(9,81 − 4,268) = 52,65 N

Ответ

T = 52,65 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 11,12 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 20·cos 70° = 6,84 m/s

t = x/v_x = 5/6,84 = 0,731 s

Высота в этот момент

y = 18,79·0,731 − ½·9,81·0,731² = 11,12 m

Ответ

y = 11,12 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 56,49 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 33·sin 20° = 11,29 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 11,29²/(2·9,81) = 6,493 m

Высота над землёй

H = 50 + 6,493 = 56,49 m

Ответ

H = 56,49 m

7.Движение по окружности

Ответ: v = 0,9884 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,8·sin 20° = 0,2736 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,2736·9,81·tan 20°) = 0,9884 m/s

Ответ

v = 0,9884 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 73,33 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·0,7 = 53,53 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·53,53/0,7 − 1,1·9,81 = 73,33 N

Ответ

T_top = 73,33 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 32,14 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,1·20,09 = 2,009 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,009·16 = 32,14 J

Ответ

W_f = 32,14 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 31,32 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(3 − 0,1·5) = 245,3 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 245,3 → x = √(2·245,3/5000) = 0,3132 m = 31,32 cm

Ответ

x = 31,32 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 178293 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·23/2700 = 11,07 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1300·23² = 343850 J

K_after = ½·2700·11,07² = 165557 J

Потерянная энергия

ΔK = 343850 − 165557 = 178293 J

Ответ

ΔK = 178293 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 22,55 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,55·(17 + 24) = 22,55 N·s

Ответ

J = 22,55 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,1491 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(250/1,6) = 12,5 rad/s

ω·t = 12,5·1,5 = 18,75 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,12·12,5·sin(18,75) = 0,1491 m/s

Ответ

v = 0,1491 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 32,32 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,8·9,81/170 = 0,1616 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,3232 m = 32,32 cm

Ответ

x_max = 32,32 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 1,923

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,36/0,7071 = 1,923

Ответ

n₁ = 1,923

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = 14,29 cm

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/12 → d_i1 = 60 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 10 − 60 = −50 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/20 − 1/(−50) → d_i2 = 14,29 cm

Ответ

d_i2 = 14,29 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics