Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 35 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 2 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 35 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 16 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 11,5 m/s и останавливается через 27 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 11,5 m/sd = 27 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 12 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 12 m/sθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 31 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 1,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 50° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 1,3 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,4 kgr = 0,6 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 800 kg въезжает на подъём 5° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 500 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 800 kgθ = 5°F_r = 500 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 4,5 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 600 kg, движущийся со скоростью 13 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 700 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 600 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 17 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,15 kgv_in = 17 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 190 N/m оттягивают на 9 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,15 s (со знаком).

m = 2,2 kgk = 190 N/mA = 9 cmt = 0,15 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,8 kg на пружине с k = 110 N/m оттягивают на 6 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 1,8 kgk = 110 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «глицерин» (n = 1,47) к плоской границе со средой «этанол» (n = 1,36). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,47n₂ = 1,36

θ_c = °

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,48 и оболочка с n₂ = 1,45. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,48n₂ = 1,45

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 1225 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/2 = 35 s

Путь

d = v·t = 35·35 = 1225 m

Ответ

d = 1225 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 70 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,799 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,799 s

Ответ

t = 3,799 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2497

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 11,5²/(2·27) = 2,449 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,449/9,81 = 0,2497

Ответ

μ = 0,2497

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 13,38 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,3·cos 15°) = 5,382 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·5,382) = 13,38 m

Ответ

d = 13,38 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,804 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23,56 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·23,56/9,81 = 4,804 s

Ответ

t = 4,804 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 105,5 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 25° = 28,1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 25° = 13,1 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 13,1·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,1 + √(171,6 + 392,4))/9,81 = 3,756 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 28,1·3,756 = 105,5 m

Ответ

x = 105,5 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,834 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 1,3·sin 50° = 0,9959 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9959·9,81·tan 50°) = 3,412 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,9959/3,412 = 1,834 s

Ответ

T = 1,834 s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 20,59 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·5²/0,6 = 3,924 + 16,67 = 20,59 N

Ответ

T = 20,59 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 17,76 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 5° = 684 N

F = 684 + 500 = 1184 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1184·15 = 17760 W = 17,76 kW

Ответ

P = 17,76 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 44,29 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(4,5 − 0,2·2,5) = 78,48 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 78,48 → x = √(2·78,48/800) = 0,4429 m = 44,29 cm

Ответ

x = 44,29 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 27300 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·13/1300 = 6 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·600·13² = 50700 J

K_after = ½·1300·6² = 23400 J

Потерянная энергия

ΔK = 50700 − 23400 = 27300 J

Ответ

ΔK = 27300 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 3,9 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(9 + 17) = 3,9 N·s

Ответ

J = 3,9 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = 1,583 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(190/2,2) = 9,293 rad/s

ω·t = 9,293·0,15 = 1,394 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(1,394) = 1,583 cm

Ответ

x = 1,583 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 3,667 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(110/1,8) = 7,817 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,06·7,817² = 3,667 m/s²

Ответ

a_max = 3,667 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 67,69 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,36/1,47 = 0,9252

Критический угол

θc = arcsin(0,9252) = 67,69°

Ответ

θ_c = 67,69°

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,2965

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,45/1,48 = 0,9797 → θc = 78,44°

Числовая апертура

NA = √(1,48² − 1,45²) = 0,2965

Ответ

NA = 0,2965

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics