Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 200 km/h, а длина полосы 2000 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 25 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 27 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 25 mv_0B = 27 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 8 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 8 kgθ = 45°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 8 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 8 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s под углом 50° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 96 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 40 m/sθ = 50°x = 96 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 140 m имеет вираж с уклоном 30°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 140 mθ = 30°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 2 kg висит на лёгкой нити длиной 0,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 30° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 2 kgL = 0,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 9,6 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 3 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 9,6 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 26 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,3 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 390 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшее удлинение x_max пружины в cm.

m = 1,3 kgk = 390 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 500 Hz движется со скоростью 10 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Дифракционная решётка имеет 500 штрихов на миллиметр. Свет с длиной волны 532 nm падает на неё под прямым углом. Каков наивысший порядок m_max светлого максимума, который можно увидеть?

N = 500 mm⁻¹λ = 532 nm

m_max =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 0,7716 m/s²

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·2000) = 0,7716 m/s²

Ответ

a = 0,7716 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 0,9259 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 25/27 = 0,9259 s

Ответ

t = 0,9259 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,549 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,2·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1414) = 5,549 m/s²

Ответ

a = 5,549 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 17,63 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 78,48 N

m₁·g·sin θ = 6,219 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Ускорение системы

a = (78,48 − 6,219 − 0)/9,5 = 7,606 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9,81 − 7,606) = 17,63 N

Ответ

T = 17,63 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 46,03 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 40·cos 50° = 25,71 m/s

t = x/v_x = 96/25,71 = 3,734 s

Высота в этот момент

y = 30,64·3,734 − ½·9,81·3,734² = 46,03 m

Ответ

y = 46,03 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 33,11 m/s

Разложите начальную скорость

v_x = 30·cos 30° = 25,98 m/s

v_y0 = 30·sin 30° = 15 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(15² + 2·9,81·10) = 20,52 m/s

Скорость при ударе

v = √(25,98² + 20,52²) = 33,11 m/s

Ответ

v = 33,11 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 23,75 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·115) = 23,75 m/s

Ответ

v_max = 23,75 m/s (85,5 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 41,78 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(140·9,81·0,8464/0,666) = 41,78 m/s

Ответ

v_max = 41,78 m/s

(150,4 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: T = 24,88 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 30°) = 1,314 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·1,314/0,5 = 24,88 N

Ответ

T = 24,88 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 24,88 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 8,404 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(9,6 − 6) = 70,63 m²/s²

v = 8,404 m/s

Ответ

v = 8,404 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −3,462 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 4,5)/(2 + 4,5)·9 = −3,462 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4,5)·9 = 5,538 m/s

Ответ

v′₁ = −3,462 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 135 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(19 + 26) = 6,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 6,75/0,05 = 135 N

Ответ

F_avg = 135 N

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,431 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,4/2π)² = 1,431 m

Ответ

L = 1,431 m

14.Пружины и маятники

Ответ: x_max = 6,54 cm

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,3·9,81/390 = 0,0327 m = A

Нижняя точка

x_max = 2A = 0,0654 m = 6,54 cm

Ответ

x_max = 6,54 cm

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 485,8 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 485,8 Hz

Ответ

f′ = 485,8 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m_max = 3

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/500 mm = 2 µm

Наивысший порядок

m ≤ d/λ = 2 µm/0,532 µm = 3,759 → m_max = 3

Ответ

m_max = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics