Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 220 km/h, а длина полосы 1700 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 40 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 170 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 40 kgF = 170 Nθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 30 m/s, и он должен упасть на расстоянии 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 30 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 32 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1200 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 14 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 65 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1200 kgv = 14 m/sr = 65 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,5 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,5 kgr = 1,4 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 2 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 30°μ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 4 mμ = 0,3k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 11 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 3,5 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,5 kgv_in = 12 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,2 kg на пружине с k = 30 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 16 cm от положения равновесия.

m = 3,2 kgk = 30 N/mA = 18 cmx = 16 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,6 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 110 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,6 kgk = 110 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет внутри прозрачного блока полностью отражается на границе со средой «акрил» (n = 1,49) при любом угле падения больше 35°. Найдите показатель преломления n₁ блока.

θ_c = 35°n₂ = 1,49

n₁ =

16.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 5 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 16 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 5 cmR = 16 cm

m =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,098 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 220/3,6 = 61,11 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 61,11²/(2·1700) = 1,098 m/s²

Ответ

a = 1,098 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 3,357 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,357 s

Ответ

t = 3,357 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,492 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 170·sin 15° = 348,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 164,2 − 104,5

a = 59,69/40 = 1,492 m/s²

Ответ

a = 1,492 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,36 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 9,81)/9 = 4,36 m/s²

Ответ

a = 4,36 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 14,69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/30² = 0,4905

Угол

2θ = 29,37° → θ = 14,69°

Ответ

θ = 14,69°

Второе решение: 90° − θ = 75,31°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 41,36 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 32·cos 20° = 30,07 m/s

v_y0 = 32·sin 20° = 10,94 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(10,94² + 2·9,81·35) = 28,4 m/s

Скорость при ударе

v = √(30,07² + 28,4²) = 41,36 m/s

Ответ

v = 41,36 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: N = 8154 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9,81 − 1200·14²/65 = 11772 − 3618 = 8154 N

Ответ

N = 8154 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T = 101,5 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·9²/1,4 = 14,71 + 86,79 = 101,5 N

Ответ

T = 101,5 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 10,62 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,866 = 21,24 N

F = μN = 0,25·21,24 = 5,31 N

Работа против трения

W_f = F·d = 5,31·2 = 10,62 J

Ответ

W_f = 10,62 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 28,45 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,3·4) = 80,93 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 80,93 → x = √(2·80,93/2000) = 0,2845 m = 28,45 cm

Ответ

x = 28,45 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 1030 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3,5)·1,469/0,005 = 1030 m/s

Ответ

v = 1030 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(12 + 12) = 12 N·s

Ответ

J = 12 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,2525 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(30/3,2) = 3,062 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 3,062·√(0,18² − 0,16²) = 0,2525 m/s

Ответ

v = 0,2525 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,508 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,6·9,81/110 = 0,2319 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(110/2,6) = 6,504 rad/s

v_max = A·ω = 0,2319·6,504 = 1,508 m/s

Ответ

v_max = 1,508 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: n₁ = 2,598

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Показатель преломления блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,49/0,5736 = 2,598

Ответ

n₁ = 2,598

16.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 2,667

Фокусное расстояние

f = R/2 = 8 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/5

d_i = −13,33 cm

Увеличение

m = −(−13,33)/5 = 2,667

Ответ

m = 2,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics