Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 16 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 5,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 16 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 18 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 9 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 9 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 36 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 24 m/s под углом 60° к горизонту с вершины обрыва высотой 10 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 130 m со скоростью 40 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 130 mv = 40 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 9 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 2,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 2,5 kgh = 9 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 16 m вдоль плоскости.

θ = 20°μ = 0,25d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 5 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 21 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,1 kgv_in = 21 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,3 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,3 kg на пружине с k = 170 N/m оттягивают на 7 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 0,3 kgk = 170 N/mA = 7 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца должна иметь следующий режим на частоте 1000 Hz: гармоника номер 7. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 7f₇ = 1000 Hz

L = m

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две тонкие линзы имеют общую ось и находятся на расстоянии 10 cm друг от друга: линза 1 с f₁ = 5 cm и линза 2 с f₂ = 10 cm. Предмет находится в 50 cm перед линзой 1. Найдите положение d_i2 итогового изображения, отсчитываемое от линзы 2 (положительное за линзой 2, действительное — положительное).

f₁ = 5 cmf₂ = 10 cms = 10 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 93,09 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/5,5 = 5,818 s

Путь

d = v·t = 16·5,818 = 93,09 m

Ответ

d = 93,09 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 32 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 5,076 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·35))/9,81 = 5,076 s

Ответ

t = 5,076 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,179 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

Ответ

a = 5,179 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,943 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/5 = 2,943 m/s²

Ответ

a = 2,943 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,897 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 70° = 12,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 70° = 33,83 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·33,83/9,81 = 6,897 s

Ответ

t = 6,897 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 32,02 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 24·sin 60° = 20,78 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 20,78²/(2·9,81) = 22,02 m

Высота над землёй

H = 10 + 22,02 = 32,02 m

Ответ

H = 32,02 m

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 5,529 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Единицы

v = 40/3,6 = 11,11 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 11,11²/(130·9,81) = 0,09681

θ = 5,529°

Ответ

θ = 5,529°

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 53,95 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(9 − 2·2,5) = 78,48 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 2,5·78,48/2,5 − 24,53 = 53,95 N

Ответ

N_top = 53,95 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 5,798 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,342 − 0,25·0,9397)) = 5,798 m/s

Ответ

v = 5,798 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 2,801 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 49,05·1 = 49,05 J

μ·m₁g·d = 0,2·49,05·1 = 9,81 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 39,24 → v = √(2·39,24/10) = 2,801 m/s

Ответ

v = 2,801 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 4 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 3)/(1 + 3)·8 = −4 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3)·8 = 4 m/s

Ответ

v′₂ = 4 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 3,6 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(15 + 21) = 3,6 N·s

Ответ

J = 3,6 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,042 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,3/9,81) = 3,042 s

Ответ

T = 3,042 s

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,4165 J

Угловая частота

ω = √(170/0,3) = 23,8 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·170·0,07² = 0,4165 J

Ответ

E = 0,4165 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,6002 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/1000 = 0,343 m

Длина

L = nλ/4 = 7·0,343/4 = 0,6002 m

Ответ

L = 0,6002 m

16.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i2 = −8 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Изображение линзы 1

1/d_i1 = 1/5 − 1/50 → d_i1 = 5,556 cm

Предмет для линзы 2

d_o2 = 10 − 5,556 = 4,444 cm

Итоговое изображение

1/d_i2 = 1/10 − 1/4,444 → d_i2 = −8 cm

Ответ

d_i2 = −8 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics