Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 240 km/h, а длина полосы 1500 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 25 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 30 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 25 mv_0B = 30 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 25 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 25 kgθ = 35°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 29 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 130 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 130 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,7 kg на нити длиной 0,6 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,7 kgr = 0,6 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 3 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 25° и тянется вверх по ней постоянной силой 105 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 2 m вверх по плоскости.

m = 8 kgF = 105 Nθ = 25°μ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 5 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 5 kgh = 5 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 12 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 3 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружины и маятникиСложная

Груз на пружине с k = 350 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 10 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

k = 350 N/mA = 10 cmx = 6 cm

K = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 300 Hz движется со скоростью 15 m/s к неподвижному наблюдателю. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Две щели на расстоянии 0,15 mm друг от друга освещаются монохроматическим светом. На экране на расстоянии 2,5 m светлая полоса номер 3 находится в 25 mm от центральной полосы. Найдите длину волны λ.

d = 0,15 mmL = 2,5 my₃ = 25 mmm = 3

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,481 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·1500) = 1,481 m/s²

Ответ

a = 1,481 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 0,8333 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 30·t − ½g·t² → t = 25/30 = 0,8333 s

Ответ

t = 0,8333 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 221 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 140,7 + 80,36 = 221 N

Ответ

F = 221 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 9,81 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/4,5 = 6,54 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,54 + 0 = 9,81 N

Ответ

T = 9,81 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 17,3 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 60° = 7 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 60° = 12,12 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·12,12/9,81 = 2,472 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 7·2,472 = 17,3 m

Ответ

x = 17,3 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,86 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 35° = 23,76 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 35° = 16,63 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 16,63·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,63 + √(276,7 + 686,7))/9,81 = 4,86 s

Ответ

t = 4,86 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 22,59 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·130) = 22,59 m/s

Ответ

v_max = 22,59 m/s (81,31 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 51,39 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·3,5²/0,6 = 16,68 + 34,71 = 51,39 N

Ответ

T = 51,39 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 10,41 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,7071 = 34,68 N

F = μN = 0,1·34,68 = 3,468 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,468·3 = 10,41 J

Ответ

W_f = 10,41 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,199 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 17,78 N

Работа и энергия

½mv² = (105 − 50,95)·2 = 108,1 J

v = √(2·108,1/8) = 5,199 m/s

Ответ

v = 5,199 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 496,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,05) = 0,9905 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 5)·0,9905/0,01 = 496,2 m/s

Ответ

v = 496,2 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 350 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(16 + 12) = 7 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 7/0,02 = 350 N

Ответ

F_avg = 350 N

13.Пружины и маятники

Ответ: L = 2,236 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(3/2π)² = 2,236 m

Ответ

L = 2,236 m

14.Пружины и маятники

Ответ: K = 1,12 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Полная энергия

E = ½·k·A² = ½·350·0,1² = 1,75 J

Энергия пружины в точке x

U = ½·k·x² = ½·350·0,06² = 0,63 J

Кинетическая энергия

K = 1,75 − 0,63 = 1,12 J

Ответ

K = 1,12 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 313,7 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 0)/(343 − 15)

f′ = 313,7 Hz

Ответ

f′ = 313,7 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 500 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = y·d/(mL) = 0,025·0,00015/(3·2,5) = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm

Ответ

λ = 500 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics