Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 36 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 14 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 35 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 35 kgθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 15 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1600 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 13 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 65 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1600 kgv = 13 m/sr = 65 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,2 kg на лёгкой нити длиной 0,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,2 kgr = 0,5 mv_bottom = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 10 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,4d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 500 N/m у основания наклонной плоскости 30° сжимают на 12 cm бруском массой 0,5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 0,5 kgk = 500 N/mx = 12 cmθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 900 kg, движущийся со скоростью 14 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1800 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 900 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 18 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,6 kgv_in = 18 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,5 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 80 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,5 kgk = 80 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 2 cm находится в 50 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 8 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 2 cmd_o = 50 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,48 и оболочка с n₂ = 1,45. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,48n₂ = 1,45n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 12,5 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12,5 m

Ответ

s = 12,5 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 29,99 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

Высота над землёй

h_max = 20 + 9,99 = 29,99 m

Ответ

h_max = 29,99 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 138,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 88,87 + 49,75 = 138,6 N

Ответ

F = 138,6 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,905 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 0)/12 = 4,905 m/s²

Ответ

a = 4,905 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 15,09 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17,21 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 17,21²/(2·9,81) = 15,09 m

Ответ

H = 15,09 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 6,173 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 55° = 19,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 55° = 27,85 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 15 + 27,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,85 + √(775,7 + 294,3))/9,81 = 6,173 s

Ответ

t = 6,173 s

7.Движение по окружности

Ответ: N = 11536 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9,81 − 1600·13²/65 = 15696 − 4160 = 11536 N

Ответ

N = 11536 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 9,79 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 7² − 4·9,81·0,5 = 29,38 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,2·29,38/0,5 − 0,2·9,81 = 9,79 N

Ответ

T_top = 9,79 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 8,124 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·10·(0,6428 − 0,4·0,766)) = 8,124 m/s

Ответ

v = 8,124 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: d = 1,251 m

Энергия пружины

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·500·0,12² = 3,6 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3,6/(4,905·(0,5 + 0,1·0,866)) = 1,251 m

Ответ

d = 1,251 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 66,67 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·14/2700 = 4,667 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·900·14² = 88200 J

K_after = ½·2700·4,667² = 29400 J

Потерянная доля

ΔK/K = 58800/88200 = 66,67 %

Ответ

ΔK/K = 66,67 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 19,8 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(15 + 18) = 19,8 N·s

Ответ

J = 19,8 N·s

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 0,8971 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Ответ

T = 0,8971 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,734 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,5·9,81/80 = 0,3066 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(80/2,5) = 5,657 rad/s

v_max = A·ω = 0,3066·5,657 = 1,734 m/s

Ответ

v_max = 1,734 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −0,381 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/50

d_i = 9,524 cm

Увеличение и высота

m = −9,524/50 = −0,1905

h_i = −0,1905·2 = −0,381 cm

Ответ

h_i = −0,381 cm

16.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 17,25 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,45/1,48 = 0,9797 → θc = 78,44°

Числовая апертура

NA = √(1,48² − 1,45²) = 0,2965

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,2965) = 17,25°

Ответ

θ_a = 17,25°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics