Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 29 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 2,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 29 m/sa_police = 2,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 16 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 16 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 4,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4,5 m/sθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 13 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 13 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,7 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,7 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,2 kg на лёгкой нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,2 kgr = 1,1 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 10 kg висит на лёгкой нити длиной 0,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 70° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 10 kgL = 0,5 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,1). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 1 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1,5 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0,1d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,7 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 35° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1 kgL = 0,7 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,4 kg на пружине с k = 290 N/m оттягивают на 11 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его скорость v при t = 0,3 s (со знаком).

m = 3,4 kgk = 290 N/mA = 11 cmt = 0,3 s

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 400 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 2,2 kgk = 400 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 10 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 25 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 10 cmf = −25 cm

m =

16.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,62 и оболочка с n₂ = 1,57. Найдите его числовую апертуру NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,57

NA =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 23,2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/2,5 = 23,2 s

Ответ

t = 23,2 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 58 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 2,31 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,31 s

Ответ

t = 2,31 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,554 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,1·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,0766) = 5,554 m/s²

Ответ

a = 5,554 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,881 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,3·cos 15°) = 5,382 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·5,382) = 1,881 m

Ответ

d = 1,881 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 22,6 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 30° = 13,86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 30° = 8 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·8/9,81 = 1,631 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13,86·1,631 = 22,6 m

Ответ

x = 22,6 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 28,56 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 13·sin 40° = 8,356 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 8,356²/(2·9,81) = 3,559 m

Высота над землёй

H = 25 + 3,559 = 28,56 m

Ответ

H = 28,56 m

7.Движение по окружности

Ответ: n = 23,5 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,7)) = 2,461 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 23,5 rpm

Ответ

n = 23,5 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 19,96 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·1,1 = 29,09 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,2·29,09/1,1 − 1,2·9,81 = 19,96 N

Ответ

T_top = 19,96 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 227,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 70°) = 6,455 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·6,455/0,5 = 227,2 N

Ответ

T = 227,2 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 227,2 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 2,801 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 9,81·1,5 = 14,71 J

μ·m₁g·d = 0,1·19,62·1,5 = 2,943 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 11,77 → v = √(2·11,77/3) = 2,801 m/s

Ответ

v = 2,801 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3 − 4,5)/(3 + 4,5)·5 = −1 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4,5)·5 = 4 m/s

Ответ

v′₁ = −1 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 159,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 35°) = 0,1266 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1266) = 1,576 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,01·1,576/0,01 = 159,2 m/s

Ответ

v = 159,2 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = −0,3683 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(290/3,4) = 9,235 rad/s

ω·t = 9,235·0,3 = 2,771 rad

Скорость

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,11·9,235·sin(2,771) = −0,3683 m/s

Ответ

v = −0,3683 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 36,36 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(400/2,2) = 13,48 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,2·13,48² = 36,36 m/s²

Ответ

a_max = 36,36 m/s²

15.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 0,7143

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/10

d_i = −7,143 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−7,143)/10 = 0,7143

Ответ

m = 0,7143

16.Волны, звук и оптика

Ответ: NA = 0,3994

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,57/1,62 = 0,9691 → θc = 75,73°

Числовая апертура

NA = √(1,62² − 1,57²) = 0,3994

Ответ

NA = 0,3994

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics