Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 120 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 5,5 kg и 0,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 70 N тянет передний брусок массой 11 kg; брусок массой 10 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.

m₁ = 10 kgm₂ = 11 kgF = 70 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 38 m/s под углом 45° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 118 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 38 m/sθ = 45°x = 118 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 29 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 29 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 20° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 0,3 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 13,6 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 4 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 5 kgh = 13,6 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg въезжает на подъём 5° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 250 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 2000 kgθ = 5°F_r = 250 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 800 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 11 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1400 kg, едущий на восток со скоростью 23 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1800 kg, едущим на север со скоростью 23 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1400 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 480 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 5 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 2 cm от положения равновесия.

m = 3,3 kgk = 480 N/mA = 5 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,4 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,4 kgk = 20 N/mA = 10 cm

E = J

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 440 Hz движется со скоростью 20 m/s от неподвижного наблюдателя. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 35 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 25 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 35 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 9,524 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/3,5 = 9,524 s

Ответ

t = 9,524 s

2.Кинематика

Ответ: t = 4,161 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,161 s

Ответ

t = 4,161 s

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 8,993 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (5,5 − 0,5)·9,81/(5,5 + 0,5) = 8,175 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 0,5·(9,81 + 8,175) = 8,993 N

Ответ

T = 8,993 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 33,33 N

Вся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 41,2)/21 = 1,371 m/s²

Только задний брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(1,371 + 1,962) = 33,33 N

Ответ

T = 33,33 N

При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 23,41 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 38·cos 45° = 26,87 m/s

t = x/v_x = 118/26,87 = 4,392 s

Высота в этот момент

y = 26,87·4,392 − ½·9,81·4,392² = 23,41 m

Ответ

y = 23,41 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 49,32 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 29·cos 25° = 26,28 m/s

v_y0 = 29·sin 25° = 12,26 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(12,26² + 2·9,81·40) = 30,58 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 30,58/26,28 → α = 49,32°

Ответ

α = 49,32°

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,065 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,3·sin 20° = 0,1026 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,1026·9,81·tan 20°) = 0,6053 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,1026/0,6053 = 1,065 s

Ответ

T = 1,065 s

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 382,6 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·13,6 = 266,8 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 5·266,8/4 + 49,05 = 382,6 N

Ответ

N_bottom = 382,6 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 29,4 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 5° = 1710 N

F = 1710 + 250 = 1960 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1960·15 = 29400 W = 29,4 kW

Ответ

P = 29,4 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 15,86 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(2,5 − 0,1·4,5) = 10,06 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 10,06 → x = √(2·10,06/800) = 0,1586 m = 15,86 cm

Ответ

x = 15,86 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1,222 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 2,5)/(2 + 2,5)·11 = −1,222 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2,5)·11 = 9,778 m/s

Ответ

v′₁ = −1,222 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 16,39 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 1400·23 = 32200 kg·m/s

p_y = 1800·23 = 41400 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 52448/3200 = 16,39 m/s

Ответ

v′ = 16,39 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,5527 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(480/3,3) = 12,06 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 12,06·√(0,05² − 0,02²) = 0,5527 m/s

Ответ

v = 0,5527 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: E = 0,1 J

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/2,4) = 2,887 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·20·0,1² = 0,1 J

Ответ

E = 0,1 J

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 415,8 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 440·(343 − 0)/(343 + 20)

f′ = 415,8 Hz

Ответ

f′ = 415,8 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 5503 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 35000·(343 + 25)/343 = 37551 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 25) = 40503 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 5503 Hz

Ответ

f_b = 5503 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics