Физика 1: Механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 200 km/h, а длина полосы 2400 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 6 m/s и останавливается через 18 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 6 m/sd = 18 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6,5 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 7 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 34 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 36 m/s под углом 60° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 4 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 36 m/sθ = 60°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1500 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 6 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 20 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1500 kgv = 6 m/sr = 20 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 260 m имеет вираж с уклоном 20°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую скорость v_min, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вниз по виражу.

r = 260 mθ = 20°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 2° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 400 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 2°F_r = 400 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 5 kgh = 2,5 mL = 3 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1300 kg, движущийся со скоростью 22 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1800 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1300 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1500 kg, едущий на восток со скоростью 12 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, едущим на север со скоростью 16 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1500 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 370 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 3,3 kgk = 370 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

15.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 1 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₅ для режима: гармоника номер 5.

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

16.Волны, звук и оптикаСложная

Решётка с 400 штрихами на миллиметр даёт максимум порядка 2 для спектральной линии под углом 21,1° к направлению прямого прохождения. Найдите длину волны λ линии.

N = 400 mm⁻¹θ₂ = 21,1°m = 2

λ = nm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 0,643 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·2400) = 0,643 m/s²

Ответ

a = 0,643 m/s²

2.Кинематика

Ответ: t = 4,33 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,33 s

Ответ

t = 4,33 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1019

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·18) = 1 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1/9,81 = 0,1019

Ответ

μ = 0,1019

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,991 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 36,57 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,223 N

Ускорение системы

a = (68,67 − 36,57 − 5,223)/13,5 = 1,991 m/s²

Ответ

a = 1,991 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 14,73 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29,44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Ответ

H = 14,73 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 112,1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 18 m/s, v_y = 31,18 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

4 = 31,18·t − 4,905·t²

t = (31,18 + √(31,18² − 2·9,81·4))/9,81 = 6,225 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18·6,225 = 112,1 m

Ответ

x = 112,1 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 12015 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9,81 − 1500·6²/20 = 14715 − 2700 = 12015 N

Ответ

N = 12015 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 19,74 m/s

Балансы сил

Трение направлено вверх по склону.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(260·9,81·0,1541/1,008) = 19,74 m/s

Ответ

v_min = 19,74 m/s

(71,08 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: P = 11,14 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 2° = 342,4 N

F = 342,4 + 400 = 742,4 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 742,4·15 = 11135 W = 11,14 kW

Ответ

P = 11,14 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 44,84 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 49,05·(2,5 − 0,15·3) = 100,6 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 100,6 → x = √(2·100,6/1000) = 0,4484 m = 44,84 cm

Ответ

x = 44,84 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 182671 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·22/3100 = 9,226 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1300·22² = 314600 J

K_after = ½·3100·9,226² = 131929 J

Потерянная энергия

ΔK = 314600 − 131929 = 182671 J

Ответ

ΔK = 182671 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 53,13 °

Составляющие импульса

p_x = 1500·12 = 18000 kg·m/s

p_y = 1500·16 = 24000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1,333 → θ = 53,13°

Ответ

θ = 53,13°

13.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,172 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,5/9,81) = 3,172 s

Ответ

T = 3,172 s

14.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,059 m/s

Угловая частота

ω = √(370/3,3) = 10,59 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,1·10,59 = 1,059 m/s

Ответ

v_max = 1,059 m/s

15.Волны, звук и оптика

Ответ: f₅ = 857,5 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·1/5 = 0,4 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Ответ

f₅ = 857,5 Hz

16.Волны, звук и оптика

Ответ: λ = 450 nm

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Длина волны

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 21,1°/2 = 450 nm

Ответ

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics